📂거리공간

립시츠 연속

정의¹

두 거리공간 $(X, d_{X})$, $(Y, d_{Y})$에 대해서, 함수 $f : X \to Y$가 주어져있다고 하자. 모든 $x_{1}, x_{2} \in X$에 대해서 다음이 성립하는 상수 $K$가 존재하면 $f$를 $K$-립시츠 연속^{Lipschitz continuous}라고 한다.

$$ d_{Y} \big( f(x_{1}), f(x_{2}) \big) \le K d_{X} \big( x_{1}, x_{2} \big) $$

이러한 상수 $K$를 립시츠 상수^{Lipschitz constant}라 한다.

설명

독일의 수학자 루돌프 립시츠^{Rudolf Lipschitz}의 이름을 딴 것이다. $f$가 립시츠 연속이라 함은 평균변화율의 최댓값이 존재하는 것이다. 모든 오픈 볼에 대해서 립시츠 연속이면, 국소 립시츠 연속^{locally Lipschitz continuous}이라고 한다. $X, Y$가 유클리드 공간이면,

$$ \left| f(x_{2}) - f(x_{1}) \right| \le K \left| x_{2} - x_{1} \right| $$

수치해석에서 미분방정식 솔루션의 안정성과 관련된 조건이다.

성질

$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$가 $K$-립시츠 연속이면, $f$는

• 절대 연속이다.
• 거의 어디에서나 미분가능하다.
• 거의 어디에서나 $\left| f^{\prime} \right| \le K$이다.

미분가능한 $f$가 립시츠 연속인 것은 $f^{\prime}$가 유계함수인 것과 동치이다.