📂함수

동차 함수

정의

상수 $a$와 함수 $f$에 대해서, 다음을 만족하는 $k \in \mathbb{N}$이 존재하면 $f$를 $k$차 동차함수^{$k$-th degree homogeneous function}라고 한다.

$$f(ax) = a^{k}f(x)$$

$f$가 다변수함수일 경우에는,

$$f(ax_{1}, ax_{2}, \dots, ax_{n}) = a^{k}f(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$$

설명

일변수함수일 때는 최고차항만 존재하는 다항함수와 같다. 예를 들어 2차 동차함수는 2차항만 존재하는 2차함수이다. $f(x) = x^{2}$이면,

$$f(ax) = a^{2}x^{2} = a^{2}f(x)$$

다변수함수일 때는 각 항의 모든 변수들의 차수의 합이 같아야한다. 예를 들어 이변수함수 $f(x,y)$가 동차함수이려면 다음과 같은 꼴이어야한다.

$$f(x,y) = ax^{2} + bxy + cy^{2}$$

여기에 $x^{2}y$와 같은 항이 들어가면 동차함수의 정의를 만족하지 못한다.