역삼각함수 arc 표기법의 유래
정의
삼각함수의 역함수를 역삼각함수inverse trigonometric function라 한다.
설명
역삼각함수들은 기본적으로 사용되는 역함수 표기법 $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$으로 표기되기도 하지만, 접두사 arc-를 붙여 $\arcsin$, $\arccos$로 표기하는 경우가 많다.
$$ \begin{align*} \arcsin x &= \sin^{-1} x \qquad & \operatorname{arccsc} x &= \csc^{-1} x \\ \arccos x &= \cos^{-1} x \qquad & \operatorname{arcsec} x &= \sec^{-1} x \\ \arctan x &= \tan^{-1} x \qquad & \operatorname{arccot} x &= \cot^{-1} x \end{align*} $$
여기서 arc는 arc 혹은 arc length, 즉 호의 길이를 의미한다.
$$ \sin\theta = x \iff \arcsin x = \theta $$
삼각함수의 이름은 단위원 위에서의 기하학적 특성에서 따오는 경우가 많다. 이 경우에도 마찬가지인데 반지름이 $1$인 단위원을 생각하면, $\theta = r\ell$에서 $\theta = \ell$이 되므로 각도와 원호의 길이가 같다. 따라서 $\arcsin x$는 단위원 내에서 높이가 $x$인 직각삼각형이 만드는 원호의 길이가 되므로, arc라는 이름이 붙은 것이다.