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역삼각함수 arc 표기법의 유래 📂함수

역삼각함수 arc 표기법의 유래

정의

삼각함수의 역함수를 역삼각함수inverse trigonometric function라 한다.

설명

역삼각함수들은 기본적으로 사용되는 역함수 표기법 sin⁡−1\sin^{-1}, cos⁡−1\cos^{-1}으로 표기되기도 하지만, 접두사 arc-를 붙여 arcsin⁡\arcsin, arccos⁡\arccos로 표기하는 경우가 많다.

arcsin⁡x=sin⁡−1xarccsc⁡x=csc⁡−1xarccos⁡x=cos⁡−1xarcsec⁡x=sec⁡−1xarctan⁡x=tan⁡−1xarccot⁡x=cot⁡−1x \begin{align*} \arcsin x &= \sin^{-1} x \qquad & \operatorname{arccsc} x &= \csc^{-1} x \\ \arccos x &= \cos^{-1} x \qquad & \operatorname{arcsec} x &= \sec^{-1} x \\ \arctan x &= \tan^{-1} x \qquad & \operatorname{arccot} x &= \cot^{-1} x \end{align*}

여기서 arc는 arc 혹은 arc length, 즉 호의 길이를 의미한다.

sin⁡θ=x  ⟺  arcsin⁡x=θ \sin\theta = x \iff \arcsin x = \theta

삼각함수의 이름은 단위원 위에서의 기하학적 특성에서 따오는 경우가 많다. 이 경우에도 마찬가지인데 반지름이 11인 단위원을 생각하면, θ=rℓ\theta = r\ell에서 θ=ℓ\theta = \ell이 되므로 각도와 원호의 길이가 같다. 따라서 arcsin⁡x\arcsin x는 단위원 내에서 높이가 xx인 직각삼각형이 만드는 원호의 길이가 되므로, arc라는 이름이 붙은 것이다.