📂미분적분학

테일러 정리의 나머지 항

정의^{1 2}

$k$번 미분가능한 함수 $f$에 대해서, 아래와 같이 정의되는 $P_{k}$을 점 $a$에서 $f$의 테일러 다항함수^{Taylor polynomial}라 한다.

$$P_{k} (x) := f(a) + f^{\prime}(a) (x-a) + \dfrac{f^{\prime \prime}(a)}{2!}(x-a)^{2} + \cdots + \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}$$

$f$와 $P_{k}$의 차를 나머지 항^{remainder term}이라 한다.

$$R_{k}(x) = f(x) - P_{k}(x)$$

설명

$$f(x) = P_{k}(x) + R_{k}(x) = \sum \limits_{n=0}^{k} \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n} + R_{k}(x)$$

$f$를 테일러 다항함수 $P_{k}$와 나머지에 대해서 정리해주면, 나머지 $R_{k}$는 $f$를 $k$번째 도함수까지의 전개로 근사했을 때의 오차^error가 된다.

페아노 형식

$R_{k}(x) = \mathcal{o}((x-a)^{k})$과 같은 나머지를 페아노 형식^{Peano form of the remainder}이라 한다.

$$f(x) = \sum \limits_{n=0}^{k} \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n} + \mathcal{o}((x-a)^{k})$$

이때 $\mathcal{o}((x-a)^{k})$는 $\lim \limits_{x \to a} \dfrac{g(x)}{(x-a)^{k}} = 0$을 만족하는 임의의 함수 $g$를 의미한다. 주로 나머지를 구체적으로 명시하지않고 대충 적고싶을 때 사용한다.

라그랑주 형식

$R_{k}(x) = \dfrac{f^{(k+1)}(\xi)}{(k+1)!} (x-a)^{k+1}$과 같은 나머지를 라그랑주 형식^{Lagrange form of the remainder}이라 한다.

$$f(x) = \sum \limits_{n=0}^{k} \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n} + \dfrac{f^{(k+1)}(\xi)}{(k+1)!} (x-a)^{k+1} \quad \text{for some } \xi \in (x,a)$$

페아노 형식과 함께 많이 쓰이는 꼴 중 하나이다. $k=0$을 대입하면 평균값 정리가 된다.

$$f(x) = f(a) + f^{\prime}(\xi)(x-a) \implies \dfrac{f(x) - f(a)}{x-a} = f^{\prime}(\xi)$$

다음과 같은 alternative equation을 이끌어낼 수 있다.

• For $n$ $$f(x + p) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} \dfrac{f^{(k)}(x)}{k!}p^{n} + \dfrac{1}{n!}f^{(n)}(x + \xi p) p^{n} \quad \text{for some } \xi \in (0,1)$$

• $n=1$ $$f(x + p) = f(x) + pf^{\prime}(x + \xi p) \quad \text{for some } \xi \in (0,1)$$

• $n=2$ $$f(x + p) = f(x) + pf^{\prime}(x) + \dfrac{1}{2!}p^{2} f^{\prime \prime}(x + \xi p) \quad \text{for some } \xi \in (0,1)$$

유도³

증명 방법이 다르지 않으므로, $n=2$일 때만 보인다. 적당한 $g$에 대해서 나머지를 라그랑주 형식으로 테일러 전개를 구하면,

$$g(t_{1}) = g(t_{0}) + g^{\prime}(t_{0}) (t_{1} - t_{0}) + \dfrac{1}{2!}g^{\prime \prime}(\xi) (t_{1} - t_{0})^{2} \quad \text{for some } \xi \in (t_{0},t_{1})$$

여기서 $t_{0}=0$, $t_{1}=1$을 대입하면,

$$g(1) = g(0) + g^{\prime}(0) + \dfrac{1}{2!}g^{\prime \prime}(\xi) \quad \text{for some } \xi \in (0,1)$$

이제 $g(\xi) = f(x + \xi p)$라 하면, $g^{\prime}(\xi) = pf^{\prime}(x + \xi p)$, $g^{\prime \prime}(\xi) = p^{2}f^{\prime \prime}(x + \xi p)$이므로

$$f(x + p) = f(x) + pf^{\prime}(x) + \dfrac{1}{2!}p^{2} f^{\prime \prime}(x + \xi p) \quad \text{for some } \xi \in (0,1)$$

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코시 형식

$R_{k}(x) = \dfrac{f^{(k+1)}(\xi)}{k!} (x-\xi)^{k} (x-a)$과 같은 나머지를 코시 형식^{Cauchy form of the remainder}이라 한다.

$$f(x) = \sum \limits_{n=0}^{k} \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n} + \dfrac{f^{(k+1)}(\xi)}{k!} (x-\xi)^{k} (x-a) \quad \text{for some } \xi \in (x,a)$$

적분 형식

$\displaystyle R_{k}(x) = \int_{a}^{x} \dfrac{f^{(k+1)}(t)}{k!} (x-t)^{k} dt$를 적분 형식^{integral form of the remainder}이라 한다.

$$\begin{equation} f(x) = \sum \limits_{n=0}^{k} \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n} + \int_{a}^{x} \dfrac{f^{(k+1)}(t)}{k!} (x-t)^{k} dt \end{equation}$$

$$\begin{equation} f(x + p) = \sum \limits_{n=0}^{k} \dfrac{f^{(n)}(x)}{n!} p^{n} + \int_{0}^{1} \dfrac{f^{(k+1)}(x + tp)}{k!} (1-t)^{k} dt p^{k+1} \end{equation}$$

유도

(1)

미분적분학의 기본정리에 의해서

$$\begin{equation} f(x) - f(a) = \int_{a}^{x} f^{\prime}(t_{1})dt_{1} \implies f(x) = f(a) + \int_{a}^{x} f^{\prime}(t_{1})dt_{1} \end{equation}$$

이를 $f^{\prime}(t_{1})$에 대해서도 적용하면,

$$\begin{equation} f^{\prime}(t_{1}) = f^{\prime}(a) + \int_{a}^{t_{1}} f^{\prime \prime}(t_{2})dt_{2} \end{equation}$$

$(4)$를 $(3)$에 대입하면,

$$\begin{align*} f(x) &= f(a) + \int_{a}^{x} \left( f^{\prime}(a) + \int_{a}^{t_{1}} f^{\prime \prime}(t_{2})dt_{2} \right) dt_{1} \\ &= f(a) + f^{\prime}(a) (x-a) + \int_{a}^{x} \int_{a}^{t_{1}} f^{\prime \prime}(t_{2})dt_{2} dt_{1} \\ &= f(a) + f^{\prime}(a) (x-a) + \int_{a}^{x} \int_{a}^{t_{1}} f^{\prime \prime}(t_{2})dt_{2} dt_{1} \\ \end{align*}$$

$f^{\prime \prime}(t_{2})$는 다시 아래와 같다.

$$f^{\prime \prime}(t_{2}) = f^{\prime \prime}(a) + \int_{a}^{t_{2}} f^{\prime \prime \prime}(t_{3})dt_{3}$$

이를 위의 식에 대입하면,

$$\begin{align*} f(x) &= f(a) + f^{\prime}(a) (x-a) + \int_{a}^{x} \int_{a}^{t_{1}} f^{\prime \prime}(t_{2})dt_{2} dt_{1} \\ &= f(a) + f^{\prime}(a) (x-a) + \int_{a}^{x} \int_{a}^{t_{1}} \left( f^{\prime \prime}(a) + \int_{a}^{t_{2}} f^{\prime \prime \prime}(t_{3})dt_{3} \right)dt_{2} dt_{1} \\ &= f(a) + f^{\prime}(a) (x-a) + \int_{a}^{x} \int_{a}^{t_{1}} f^{\prime \prime}(a) dt_{2} dt_{1} + \int_{a}^{x}\int_{a}^{t_{1}}\int_{a}^{t_{2}} f^{\prime \prime \prime}(t_{3})dt_{3} dt_{2} dt_{1} \\ &= f(a) + f^{\prime}(a) (x-a) + \frac{f^{\prime \prime}(a)}{2}(x-a)^{2} + \int_{a}^{x}\int_{a}^{t_{1}}\int_{a}^{t_{2}} f^{\prime \prime \prime}(t_{3})dt_{3} dt_{2} dt_{1} \\ \end{align*}$$

이를 반복하면,

$$f(x) = \sum \limits_{n=0}^{k} \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n} + \int_{a}^{x} \cdots \int_{a}^{t_{k}} f^{(k+1)}(t_{k+1})dt_{k+1} \cdots dt_{1} \\$$

뒤의 적분을 보자. 간단히 적분이 2개일 때를 살펴보면, 아래와 같이 적분 순서와 범위를 바꿔줄 수 있다.

$$\int_{a}^{x} \int_{a}^{t_{1}} f^{\prime \prime}(t_{2})dt_{2} dt_{1} = \int_{a}^{x} \int_{t_{2}}^{x} f^{\prime \prime}(t_{2})dt_{1} dt_{2}$$

$$\begin{cases} a \lt t_{2} \lt t_{1} \\ a \lt t_{1} \lt x \end{cases} = \begin{cases} a \lt t_{2} \lt x \\ t_{2} \lt t_{1} \lt x \end{cases}$$

따라서 뒤의 적분항은,

$$\begin{align*} &\int_{a}^{x} \int_{a}^{t_{1}} \cdots \int_{a}^{t_{k-1}} \int_{a}^{t_{k}} f^{(k+1)}(t_{k+1})dt_{k+1}dt_{k} \cdots dt_{2} dt_{1} \\ &=\int_{a}^{x} \int_{t_{k+1}}^{x} \cdots \int_{t_{3}}^{x} \int_{t_{2}}^{x} f^{(k+1)}(t_{k+1})dt_{1}dt_{2} \cdots dt_{k} dt_{k+1} \\ &=\int_{a}^{x} f^{(k+1)}(t_{k+1}) \int_{t_{k+1}}^{x} \cdots \int_{t_{3}}^{x} \int_{t_{2}}^{x} dt_{1}dt_{2} \cdots dt_{k} dt_{k+1} \\ &=\int_{a}^{x} f^{(k+1)}(t_{k+1}) \dfrac{(x-t_{k+1})^{k}}{k!} dt_{k+1} \\ &=\int_{a}^{x} f^{(k+1)}(t) \dfrac{(x-t)^{k}}{k!} dt \end{align*}$$

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(2)

$(1)$을 $\gamma$에 대해서 쓰면,

$$\gamma (s_{1}) = \sum \limits_{n=0}^{k} \dfrac{\gamma^{(n)}(s_{0})}{n!} (s_{1}-s_{0})^{n} + \int_{s_{0}}^{s_{1}} \dfrac{\gamma^{(k+1)}(t)}{k!} (s_{1}-t)^{k} dt$$

$s_{1} = 1$, $s_{0}=0$ 대입하면,

$$\gamma (1) = \sum \limits_{n=0}^{k} \dfrac{\gamma^{(n)}(0)}{n!} + \int_{0}^{1} \dfrac{\gamma^{(k+1)}(t)}{k!} (1-t)^{k} dt$$

이제 $\gamma (t) = f(x + tp)$라 두면, $\gamma ^{(n)}(t) = \frac{d^{n} \gamma (t)}{d t^{n}} = p^{n}f^{(n)}(x +tp)$이므로,

$$f(x + p) = \sum \limits_{n=0}^{k} \dfrac{f^{(n)}(x)}{n!} p^{n} + \int_{0}^{1} \dfrac{f^{(k+1)}(x + tp)}{k!} (1-t)^{k} dt p^{k+1}$$

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