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행렬대수에서 사영이란 📂행렬대수

행렬대수에서 사영이란

정의

정방행렬 P∈Cm×mP \in \mathbb{C}^{m \times m} 가 P2=PP^2 = P 면 사영작용소projector라 한다.

설명

대수학적인 용어로는 멱등원idempotent이라는 표현을 사용하고, 마찬가지로 a2=aa^2 = a 와 같은 원소를 일컫는다.

한편 PP 가 사영이면 (I−P)2=I−2P+P2=I−2P+P=(I−P)(I-P)^2 = I - 2P + P^2 = I - 2P + P = (I-P) 이므로 (I−P)(I-P) 역시 사영임을 알 수 있다.

이러한 사영작용소 (I−P)(I - P)를 PP 의 여사영작용소complementary Projector라 한다.

일차변환으로써의 사영을 기하학적으로 생각해보면 공간도형에 광선을 비춰서 그 그림자를 구하는 것이다. 예를들어 f(x,y,z):=(x,y,0)f(x,y,z) := (x,y,0) 와 같은 함수는 zz 축의 방향으로 광선을 쏘아 xyxy 평면에 생기는 그림자를 나타낸다. 그림자를 또 다시 사영해봐도 결과는 같고, 그러한 센스에서 P2=PP^2 = P 가 사영작용소라는 정의는 상식적이라고 할 수 있다.

성질

사영 P∈Cm×mP \in \mathbb{C}^{m \times m} 와 그 여사영 I−PI-P 는 다음의 성질들을 만족한다.

(a) C(I−P)=N(P)\mathcal{C} (I-P) = \mathcal{N} (P)

(b) N(1−P)=C(P)\mathcal{N} (1-P) = \mathcal{C} (P)

(c) N(1−P)∩N(P)={0}\mathcal{N} (1-P) \cap \mathcal{N} (P) = \left\{ 0 \right\}

(d) C(P)∩N(P)={0}\mathcal{C} (P) \cap \mathcal{N} (P) = \left\{ 0 \right\}

(e) C(P)⊕N(P)=Cm\mathcal{C} (P) \oplus \mathcal{N} (P) = \mathbb{C}^{m}

증명

(a)(b)

C(I−P)\mathcal{C} ( I - P)와 N(P)\mathcal{N}(P)가 서로 포함관계에 있음을 보이면 된다. 임의의 벡터 v∈Cm\mathbf{v} \in \mathbb{C}^{m} 에 대해

(I−P)v=v−Pv (I - P) \mathbf{v} = \mathbf{v} - P \mathbf{v}

만약 v∈N(P)\mathbf{v} \in \mathcal{N} (P) 면 Pv=0P \mathbf{v} = \mathbb{0} 이므로 (I−P)v=v(I - P) \mathbf{v} = \mathbf{v}, 즉 v∈C(I−P)\mathbf{v} \in \mathcal{C} (I - P) 이고 따라서

N(P)⊂C(I−P) \mathcal{N} (P) \subset \mathcal{C} (I - P)

w∈C(I−P)\mathbf{w} \in \mathcal{C} (I-P) 이라고 하면 w=(I−P)v\mathbf{w} = (I - P) \mathbf{v} 를 만족하는 v\mathbf{v} 역시 C(I−P)\mathcal{C} (I-P) 에 존재한다. w=(I−P)v\mathbf{w} = (I - P) \mathbf{v} 에 사영 PP 를 취하면

Pw=Pv−P2v=Pv−Pv=0 P \mathbf{w} = P \mathbf{v} - P^2 \mathbf{v} = P \mathbf{v} - P \mathbf{v} = \mathbb{0}

즉 w∈N(P)\mathbf{w} \in \mathcal{N} (P) 이고 따라서

C(I−P)⊂N(P) \mathcal{C} (I - P) \subset \mathcal{N} (P)

이로써 (1) 이 증명되었고 P=I−(I−P)P = I - (I- P) 이므로 사영 (I−P)(I - P) 에 대한 여사영 PP 으로 보면 곧바로 (2) 가 증명된다.

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(c)(d)

v∈N(I−P)∩N(P)\mathbf{v} \in \mathcal{N} (I - P) \cap \mathcal{N} (P) 이 영벡터가 아니라고 가정하자. 그러나 v∈N(I−P)\mathbf{v} \in \mathcal{N} (I - P) 이므로 (I−P)v=0(I-P) \mathbf{v} = \mathbb{0} 이고 v∈N(P)\mathbf{v} \in \mathcal{N} (P) 이므로

Pv=0 P \mathbf{v} = \mathbb{0}

양변을 더하면 (I−P)v+Pv=v=0(I-P) \mathbf{v} + P \mathbf{v} = \mathbf{v} = \mathbb{0} 이고 이는 가정에 모순이다.

이로써 (3) 이 증명되었고 (1) 과 (2) 에 의해 곧바로 (4) 가 증명된다.

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(e)

직합의 정의에 따라 세가지 존재성, 배타성, 유일성을 보이면 된다.

  • (i) 존재성

    (a) 에 의해 N(P)=C(I−P)\mathcal{N} (P) = \mathcal{C} (I - P) 으고 임의의 벡터 s∈Cm\mathbf{s} \in \mathbb{C}^{m} 에 대해 Ps∈C(P)P \mathbf{s} \in \mathcal{C}(P) 그리고 (I−P)s∈C(I−P)(I - P)\mathbf{s} \in \mathcal{C} (I - P) 다.

한편 Ps+(I−P)s=Ps+s−Ps=s∈CmP \mathbf{s} + (I - P) \mathbf{s} = P \mathbf{s} + \mathbf{s} - P \mathbf{s} = s \in \mathbb{C}^{m} 이므로, s\mathbf{s} 는 항상 C(P)\mathcal{C}(P) 와 C(I−P)\mathcal{C} (I - P) 의 합으로 나타낼 수 있다.

  • (ii) 배타성

    (d) 에서 이미 증명되었다.

  • (iii) 유일성

    위의 (ii) 에 의해 s∈Cms \in \mathbb{C}^{m} 에 대해

    s=c1+n1=c2+n2 \mathbf{s} = \mathbf{c}_{1} + \mathbf{n}_{1} = \mathbf{c}_{2} + \mathbf{n}_{2}

    를 만족하는 c1,c2∈C(P)\mathbf{c}_{1} , \mathbf{c}_{2} \in \mathcal{C}(P) 와 n1,n2∈N(P)\mathbf{n}_{1}, \mathbf{n}_{2} \in \mathcal{N}(P) 가 존재한다.

여기서 c1≠c2\mathbf{c}_{1} \ne \mathbf{c}_{2} 와 n1≠n2\mathbf{n}_{1} \ne \mathbf{n}_{2} 라고 가정하자.

c1+n1=c2+n2\mathbf{c}_{1} + \mathbf{n}_{1} = \mathbf{c}_{2} + \mathbf{n}_{2} 의 양변에 PP 를 곱하면

Pc1+Pn1=Pc2+Pn2 P\mathbf{c}_{1} + P\mathbf{n}_{1} = P\mathbf{c}_{2} + P\mathbf{n}_{2}

한편 n1,n2∈N(P)\mathbf{n}_{1}, \mathbf{n}_{2} \in \mathcal{N} (P) 이므로

Pc1=Pc2 P\mathbf{c}_{1} = P\mathbf{c}_{2}

즉 P(c1−c2)=0P( \mathbf{c}_{1} - \mathbf{c}_{2} ) = \mathbb{0}이다. 영공간의 정의에서 (c1−c2)∈N(P)( \mathbf{c}_{1} - \mathbf{c}_{2}) \in \mathcal{N}(P) 이고 벡터공간의 성질에서 (c1−c2)∈C(P)( \mathbf{c}_{1} - \mathbf{c}_{2}) \in \mathcal{C}(P) 인데 (배타성) 에 의해 c1−c2=0\mathbf{c}_{1} - \mathbf{c}_{2} = \mathbb{0} 이어야한다.

이는 c1≠c2\mathbf{c}_{1} \ne \mathbf{c}_{2} 이라는 가정과 모순이고 같은 방법으로 n1=n2\mathbf{n}_{1} = \mathbf{n}_{2} 임을 보일 수 있다.

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