행렬대수에서 사영이란
정의
정방행렬 $P \in \mathbb{C}^{m \times m}$ 가 $P^2 = P$ 면 사영작용소projector라 한다.
설명
대수학적인 용어로는 멱등원idempotent이라는 표현을 사용하고, 마찬가지로 $a^2 = a$ 와 같은 원소를 일컫는다.
한편 $P$ 가 사영이면 $(I-P)^2 = I - 2P + P^2 = I - 2P + P = (I-P)$ 이므로 $(I-P)$ 역시 사영임을 알 수 있다.
이러한 사영작용소 $(I - P)$를 $P$ 의 여사영작용소complementary Projector라 한다.
일차변환으로써의 사영을 기하학적으로 생각해보면 공간도형에 광선을 비춰서 그 그림자를 구하는 것이다. 예를들어 $f(x,y,z) := (x,y,0)$ 와 같은 함수는 $z$ 축의 방향으로 광선을 쏘아 $xy$ 평면에 생기는 그림자를 나타낸다. 그림자를 또 다시 사영해봐도 결과는 같고, 그러한 센스에서 $P^2 = P$ 가 사영작용소라는 정의는 상식적이라고 할 수 있다.
성질
사영 $P \in \mathbb{C}^{m \times m}$ 와 그 여사영 $I-P$ 는 다음의 성질들을 만족한다.
(a) $\mathcal{C} (I-P) = \mathcal{N} (P)$
(b) $\mathcal{N} (1-P) = \mathcal{C} (P)$
(c) $\mathcal{N} (1-P) \cap \mathcal{N} (P) = \left\{ 0 \right\}$
(d) $\mathcal{C} (P) \cap \mathcal{N} (P) = \left\{ 0 \right\}$
(e) $\mathcal{C} (P) \oplus \mathcal{N} (P) = \mathbb{C}^{m}$
증명
(a)(b)
$\mathcal{C} ( I - P)$와 $\mathcal{N}(P)$가 서로 포함관계에 있음을 보이면 된다. 임의의 벡터 $\mathbb{v} \in \mathbb{C}^{m}$ 에 대해
$$ (I - P) \mathbb{v} = \mathbb{v} - P \mathbb{v} $$
만약 $\mathbb{v} \in \mathcal{N} (P)$ 면 $P \mathbb{v} = \mathbb{0}$ 이므로 $(I - P) \mathbb{v} = \mathbb{v}$, 즉 $\mathbb{v} \in \mathcal{C} (I - P)$ 이고 따라서
$$ \mathcal{N} (P) \subset \mathcal{C} (I - P) $$
$\mathbb{w} \in \mathcal{C} (I-P)$ 이라고 하면 $\mathbb{w} = (I - P) \mathbb{v}$ 를 만족하는 $\mathbb{v}$ 역시 $\mathcal{C} (I-P)$ 에 존재한다. $\mathbb{w} = (I - P) \mathbb{v}$ 에 사영 $P$ 를 취하면
$$ P \mathbb{w} = P \mathbb{v} - P^2 \mathbb{v} = P \mathbb{v} - P \mathbb{v} = \mathbb{0} $$
즉 $\mathbb{w} \in \mathcal{N} (P)$ 이고 따라서
$$ \mathcal{C} (I - P) \subset \mathcal{N} (P) $$
이로써 (1) 이 증명되었고 $P = I - (I- P)$ 이므로 사영 $(I - P)$ 에 대한 여사영 $P$ 으로 보면 곧바로 (2) 가 증명된다.
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(c)(d)
$\mathbb{v} \in \mathcal{N} (I - P) \cap \mathcal{N} (P)$ 이 영벡터가 아니라고 가정하자. 그러나 $\mathbb{v} \in \mathcal{N} (I - P)$ 이므로 $(I-P) \mathbb{v} = \mathbb{0}$ 이고 $\mathbb{v} \in \mathcal{N} (P)$ 이므로
$$ P \mathbb{v} = \mathbb{0} $$
양변을 더하면 $(I-P) \mathbb{v} + P \mathbb{v} = \mathbb{v} = \mathbb{0}$ 이고 이는 가정에 모순이다.
이로써 (3) 이 증명되었고 (1) 과 (2) 에 의해 곧바로 (4) 가 증명된다.
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(e)
직합의 정의에 따라 세가지 존재성, 배타성, 유일성을 보이면 된다.
(i) 존재성
(a) 에 의해 $\mathcal{N} (P) = \mathcal{C} (I - P)$ 으고 임의의 벡터 $\mathbb{s} \in \mathbb{C}^{m}$ 에 대해 $P \mathbb{s} \in \mathcal{C}(P)$ 그리고 $(I - P)\mathbb{s} \in \mathcal{C} (I - P)$ 다.
한편 $P \mathbb{s} + (I - P) \mathbb{s} = P \mathbb{s} + \mathbb{s} - P \mathbb{s} = s \in \mathbb{C}^{m}$ 이므로, $\mathbb{s}$ 는 항상 $\mathcal{C}(P)$ 와 $\mathcal{C} (I - P)$ 의 합으로 나타낼 수 있다.
(ii) 배타성
(d) 에서 이미 증명되었다.
(iii) 유일성
위의 (ii) 에 의해 $s \in \mathbb{C}^{m}$ 에 대해
$$ \mathbb{s} = \mathbb{c}_{1} + \mathbb{n}_{1} = \mathbb{c}_{2} + \mathbb{n}_{2} $$
를 만족하는 $\mathbb{c}_{1} , \mathbb{c}_{2} \in \mathcal{C}(P)$ 와 $\mathbb{n}_{1}, \mathbb{n}_{2} \in \mathcal{N}(P)$ 가 존재한다.
여기서 $\mathbb{c}_{1} \ne \mathbb{c}_{2} $ 와 $\mathbb{n}_{1} \ne \mathbb{n}_{2}$ 라고 가정하자.
$\mathbb{c}_{1} + \mathbb{n}_{1} = \mathbb{c}_{2} + \mathbb{n}_{2}$ 의 양변에 $P$ 를 곱하면
$$ P\mathbb{c}_{1} + P\mathbb{n}_{1} = P\mathbb{c}_{2} + P\mathbb{n}_{2} $$
한편 $\mathbb{n}_{1}, \mathbb{n}_{2} \in \mathcal{N} (P)$ 이므로
$$ P\mathbb{c}_{1} = P\mathbb{c}_{2} $$
즉 $P( \mathbb{c}_{1} - \mathbb{c}_{2} ) = \mathbb{0}$이다. 영공간의 정의에서 $( \mathbb{c}_{1} - \mathbb{c}_{2}) \in \mathcal{N}(P)$ 이고 벡터공간의 성질에서 $( \mathbb{c}_{1} - \mathbb{c}_{2}) \in \mathcal{C}(P)$ 인데 (배타성) 에 의해 $\mathbb{c}_{1} - \mathbb{c}_{2} = \mathbb{0}$ 이어야한다.
이는 $\mathbb{c}_{1} \ne \mathbb{c}_{2}$ 이라는 가정과 모순이고 같은 방법으로 $\mathbb{n}_{1} = \mathbb{n}_{2}$ 임을 보일 수 있다.
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