📂편미분방정식

쌍곡형 편미분 방정식

정의^{1 2}

아래와 같은 $u(t,x)$에 대한 2계 선형 편미분방정식을 생각하자.

$$ Au_{tt} + Bu_{tx} + Cu_{xx} + Du_{t} + Eu_{x} + Fu + G = 0\qquad (ABC \ne 0) \tag{1} $$

여기서 계수 $A, \dots, G$들은 $(t,x)$에 대한 함수이다. $\Delta = B^{2} - 4AC$를 판별식^discriminant이라 한다. 판별식이 양수인 편미분방정식 $(1)$을 쌍곡형 편미분방정식^{hyperbolic PDE}이라 한다.

$$ (1) \text{ is called hyperbolic, if } \Delta (t,x) \gt 0. $$

설명

사실 쌍곡형 편미분방정식이라 말하는 경우는 거의 없고, 흔히 음차 그대로 [하이퍼볼릭 피디이]^{hyperbolic PDE}라 부른다. 이름의 유래는 당연하게도 쌍곡선이다.

이차곡선 $Ax^{2} + Bxy + Cy^{2} + Dx + Ey + F = 0$이 $B^{2} - 4AC \gt 0$을 만족하면 쌍곡선이다.

좁은 의미로는 파동 방정식을 의미한다.

$$ u_{tt} - \Delta u = 0 \qquad (\Delta = 0^{2} - 4(1)(-1) = 4) $$