예고로프 정리
정리1 2
$(X, \mathcal{E}, \mu)$를 $\mu (X) \lt \infty$인 측도공간이라 하자. $f$를 가측함수, $\left\{ f_{n} \right\}$를 거의 어디에서나 $f$로 수렴하는 가측함수열이라고 하자.
$$ f_{n} \to f \text{ a.e. } $$
그러면, 모든 $\epsilon \gt 0$에 대해, 다음을 만족하는 $E \subset X$가 존재한다
$$ \mu (E) \lt \epsilon \quad \text{ and } \quad f_{n} \rightrightarrows f \text{ on } E^{c} $$
설명
이 정리는 한마디로 가측함수에 대해서는 점별수렴과 균등수렴이 거의 같다는 것을 말해준다.
정리에서 말하는 이러한 수렴을 거의 균등 수렴almost uniform convergence이라 부르기도 한다. 다음이 성립하면, $f_{n}$이 $f$로 거의 균등수렴한다고 말한다.
$$ \forall \epsilon \gt 0,\quad \exists E \subset \mathcal{E} \text{ such that } \mu (E) \lt \epsilon \text{ and } f_{n} \rightrightarrows f \text{ on } E^{c} $$
다음의 사실이 성립한다. 거의 균등수렴하면,
- 거의 어디에서나 수렴한다.
- 측도수렴한다.
증명
일반성을 잃지않고 모든 $x \in X$에 대해서 $f_{n} \to f$라고 가정하자. $k, n \in \N$에 대해서, $E_{n}(k)$를 다음과 같이 두자.
$$ E_{n}(k) = \bigcup \limits_{m = n}^{\infty} \left\{ x : \left| f_{m}(x) - f(x) \right| \ge \frac{1}{k} \right\} \tag{1} $$
그러면 고정된 $k$에 대해서 $E_{n+1}(k) \subset E_{n}(k)$를 만족하고 $f_{n} \to f$이므로, 다음이 성립한다.
$$ \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} E_{n}(k) = \varnothing $$
$\mu (X) \lt \infty$라 가정했으므로, $\mu (E_{n}(k)) \to 0 \text{ as } n \to \infty$이다. 이에따라, 주어진 $\epsilon \gt 0$과 $k \in \N$에 대해서, $\mu \left( E_{n_{k}}(k) \right) \lt \epsilon 2^{-k}$가 되도록하는 충분히 큰 $n_{k}$를 하나 선택하자. 그리고 $E = \cup_{k=1}^{\infty} E_{n_{k}}(k)$라고 두자. 그러면 $\mu (E) \lt \epsilon$이다.
또한 $x \notin E$이면, 모든 $k$에 대해 $x \notin E_{n_{k}}(k)$이고, 정의 $(1)$에 의해 다음이 성립한다.
$$ \left| f_{n}(x) - f(x) \right| \lt \frac{1}{k} \text{ for } n \gt n_{k} $$
그러므로 $f_{n} \rightrightarrows f \text{ on } E^{c}$이다.
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