📂측도론

에고로프 정리

정리^{1 2}

측도 공간 $( X , \mathcal{E} , \mu)$ 가 주어져 있고, $\mu$ 는 유한 측도라 하자.

가측 함수의 시퀀스 $\left\{ f_{n} : X \to \mathbb{R} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 이 $X$ 에서 어떤 가측함수 $f$ 으로 거의 어디서나 수렴하면, $f_{n}$ 은 $f$ 로 거의 균등 수렴하고 측도 수렴한다.

설명

이 정리는 한마디로 가측함수에 대해서는 점별수렴과 균등수렴이 거의 같다는 것을 말해준다.

증명

일반성을 잃지 않고, $f_{n}$ 은 $X$ 의 모든 점에서 $f$ 로 수렴한다고 가정하자. 두 자연수 $n , m \in \mathbb{N}$ 에 대해 다음과 같은 집합 $E_{n} (m) \subset X$ 을 정의하자: $$E_{n} (m) := \cup_{k=n}^{\infty} \left\{ x \in X : \left| f_{k}(x) - f(x) \right| \ge {\frac{1}{m}} \right\}$$

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Part 1. 측도 수렴

$E_{n} (m)$ 의 정의에 따라 $E_{n+1} (m) \subset E_{n} (m)$ 이고, 모든 $x \in X$ 에서 $f_{n} (x) \to f(x)$ 이므로 이들의 무한교집합은 다음과 같다. $$\bigcap_{n=1}^{\infty} E_{n} (m) = \emptyset$$

측도 수렴의 정의: 가측 함수의 시퀀스 $\left\{ f_{n} : X \to \mathbb{R} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 이 어떤 가측함수 $f : X \to \mathbb{R}$ 와 모든 $M >0$ 에 대해 다음을 만족하면 $f$ 로 측도 수렴^{converge in measure} 한다고 말한다. $$\lim_{n \to \infty} \mu \left( \left\{ x \in X : | f_{n}(x) - f(x) | \ge M \right\} \right) = 0$$

가정에서 $\mu (X) < \infty$ 이므로 $n \to \infty$ 일 때 $\mu \left( E_{n} (m) \right) \to 0$ 이어야 하고, $f_{n}$ 은 $f$ 로 측도 수렴하는 것을 알 수 있다.

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Part 2. 거의 균등 수렴

거의 균등 수렴의 정의: 가측 함수의 시퀀스 $\left\{ f_{n} : X \to \mathbb{R} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 이 어떤 가측함수 $f : X \to \mathbb{R}$ 와 각각의 $\delta > 0$ 마다 $\mu \left( E_{\delta} \right) < \delta$ 를 만족하는 $E_{\delta} \in \mathcal{E}$ 이 존재해서 $X \setminus E_{\delta}$ 에서 $f_{n}$ 이 $f$ 로 균등 수렴하면 $f_{n}$ 이 $f$ 로 거의 균등 수렴^{almost uniformly convergent}한다고 말한다.

임의의 $\delta > 0$ 에 대해 $n = k_{m}$ 가 다음을 만족하는 자연수, $E_{\delta} \in X$ 역시 다음을 만족하는 집합으로 정의하자. $$\begin{align*} \mu \left( E_{k_{m}} (m) \right) =& {\frac{ \delta }{ 2^{m} }} \\ E_{\delta} =& \bigcup_{m=1}^{\infty} E_{k_{m}} (m) \\ \implies \mu \left( E_{\delta} \right) < & \delta \end{align*}$$ 여야 한다. 만약 $x \notin E_{\delta}$ 라면 $x \notin E_{k_{m}} (m)$ 이고, 모든 $n \ge k_{m}$ 에 대해 다음이 성립한다. $$\left| f_{n} (x) - f (x) \right| < {\frac{ 1 }{ m }}$$ 이는 다시 말해 $f_{n}$ 가 $X \setminus E_{\delta}$ 에서 $f$ 로 균등 수렴한다는 것이므로, $f_{n}$ 은 $f$ 로 거의 균등 수렴한다.

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