부분군 판정법

정리

원스텝 판정법

군 $G$의 공집합이 아닌 부분집합 $H$에 대해서 $a$, $b$가 $H$의 원소일 때 $ab^{-1}$도 $H$의 원소이면 $H$는 $G$의 부분군이다. 즉, $a$, $b$가 $H$의 원소일 때 $a-b$도 $H$의 원소이면 $H$는 부분군이다.

$$ (a, b \in H \implies ab^{-1} \in H) \implies H \le G $$

투스텝 판정법

군 $G$의 공집합이 아닌 부분집합 $H$에 대해서, 다음의 두 조건을 만족하면 $H$는 $G$의 부분군이다.

$a$, $b \in H \implies ab \in H$
$a \in H \implies a^{-1} \in H$

$$ (a, b \in H \implies ab \in H) \land (a \in H \implies a^{-1} \in H) \implies H \le G $$

설명

투스텝 판정법을 간단히 말하면 군의 연산과 역원에 대해서 닫혀있는지 조사하라는 것이다.

증명

원스텝 판정법

$a,\ b$가 $H$의 원소일 때 $ab^{-1}$도 $H$의 원소라고 가정하자.이 때 $H$가 군이 될 조건 3가지를 만족하는지 확인하면 된다.
[1] $H$의 연산은 군 $G$의 연산과 같기 때문에 결합법칙이 성립하는 것은 자명하다.
[2] $a=x,\ b=x$라고 하자. 그러면 $ab^{-1}=xx^{-1}=e$이고 가정에 의해 $H$의 원소가 되므로 $H$는 항등원을 가진다.
[3] $a=e,\ b=x$라고 하자. 그러면 $ex^{-1}=x^{-1}$이고 가정에 의해 $H$의 원소가 되므로 $H$의 임의의 원소 $b$는 역원을 가진다.
[4] [3]에 의해 어떤 원소라도 역원을 가지는 것을 확인했으므로 $a=x,\ b=-y$라고 하자. 그러면 $x(y^{-1})^{-1}=xy$이고 가정에 의해 $H$의 원소가 되므로 $H$는 연산에 대해 닫혀있다.

[1]~[4]에 의해 $H$는 군 $G$의 연산에 대해 닫혀있고 결합법칙이 성립하며 항등원과 역원을 가지므로 군이다. 따라서 부분집합 $H$는 군 $G$의 부분군이다.

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투스텝 판정법

1.과 2.를 가정하자. 그러면, 원스텝 판정법에 의해서, $a, b \in H$일 때마다 $ab^{-1} \in H$임을 보이면 증명이 끝난다. $a$, $b \in H$라 하자. 그러면 2.에 의해서 $b^{-1} \in H$이고, 1.에 의해서 $ab^{-1} \in H$이다. 따라서 $H$는 $G$의 부분군이다.

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