물리학에서 좌표계와 좌표
정의
각각의 $n$-순서쌍 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$들이 $n$차원 공간의 한 점을 유일하게 결정할 때, 이 $n$-순서쌍들의 집합을 ($n$차원)좌표계coordinate system, 좌표계의 원소 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$을 그 점의 좌표coordinate라 한다.
설명
물리학에서는 보통 $n \le 4$이다.
위의 정의는 고등학교에서부터 자연스레 써왔던 개념을 다시 정리한 것에 불과하다. 중요한 점은 좌표가 유일한 한 점을 결정해야한다는 것이다. 좌표 $(a_{1}, \dots, a_{n})$이 주어지면 이것이 의미하는 공간상의 점은 단 하나여야 한다. 하지만 반대로 공간상의 한 점이 주어지면 그것을 표현하는 좌표 $(a_{1}, \dots, a_{n})$은 유일하지 않을 수 있다. 특히 각도를 쓰는 좌표계들은 삼각함수 때문에 축 위의 점이나 원점 등에서 좌표 표현이 여러개 존재할 수 있다.
좌표계
- $\mathbb{R}$는 실수 집합을 의미한다.
- $\mathbb{R}^{n} = \overbrace{\mathbb{R} \times \cdots \times \mathbb{R}}^{n}$는 $n$차원 공간을 의미한다.
수직선은 1차원 좌표계이다.
데카르트 좌표계
일상 생활과 가장 밀접하고, 직관적인 좌표계이다. 물리학에서는 2차원 데카르트 좌표계인 좌표평면과 3차원 데카르트 좌표계인 좌표공간을 주로 다룬다. 3차원 데카르트 좌표계의 좌표를 다음과 같이 표현한다. $$ (x, y, z) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^{3} $$ 그래서 데카르트 좌표계라는 말 대신 $(x, y, z)$-좌표계라고 표현하기도 한다. 이는 아래의 다른 좌표계에서도 적용되는 관습이다.
데카르트 좌표계를 직교 좌표계라고 부르기도 하는데 이는 잘못된 표현이다. 데카르트 좌표계가 아닌 극좌표, 구좌표, 원통좌표 모두 축이 서로 직교하기 때문이다. 직교 좌표계는 데카르트 좌표계, 원통 좌표계, 구 좌표계 등 축이 서로 직교하는 모든 좌표계를 묶어서 부르는 말이다.
극 좌표계
극좌표계는 2차원에서 반지름 대칭인 운동을 기술하는데 용이한 좌표계이다. 원점으로부터의 거리 $r$과 $x$-축으로부터의 각도 $\theta$로 2차원 공간의 한 점을 결정한다. $$ (r,\theta) \in [0, \infty) \times [0, 2\pi) $$ 원점의 좌표는 유일하지 않다. 서로 다른 $\theta_{1}, \theta_{2}$에 대해서 다음이 성립한다. $$ (0, \theta_{1}) = (0, \theta_{2}) $$
원통 좌표계
3차원 공간의 한 점을 $xy$-평면으로 사영했을 때의 길이 $\rho$(혹은 $s$)와 $x$-축으로부터의 각도 $\phi$, 그리고 $z$-좌표로 표현한다. $$ (\rho, \phi, z) \in [0, \infty) \times [0, 2\pi) \times \mathbb{R} $$ 원점의 좌표는 유일하지 않다. 서로 다른 $\phi_{1}, \phi_{2}$에 대해서 다음이 성립한다. $$ (0, \phi_{1}, 0) = (0, \phi_{2}, 0) $$ $z-$축의 좌표도 유일하지 않다. 서로 다른 $\phi_{1}, \phi_{2}$에 대해서 다음이 성립한다. $$ (0, \phi_{1}, z) = (0, \phi_{2}, z) $$
구 좌표계
3차원 공간에서 반지름 대칭인 운동을 기술하는데 용이하다. 극 좌표계의 3차원으로의 확장이다. 원점으로부터의 거리 $r$, 천정각 $\theta$, 방위각 $\phi$로 3차원 공간의 한 점을 결정한다. $$ (r, \theta, \phi) \in [0, \infty) \times [0, \pi] \times [0, 2\pi) $$ 원통 좌표계와 마찬가지로 원점과 $z$-축 위의 점의 좌표는 유일하지 않다.
$\theta$와 $\phi$의 표기를 서로 바꾸어 사용하기도 하는데, 내 생각엔 그러한 표기는 적절하지 않다. 의미를 생각해봐도 그렇고, ISO에서 제정한 국제 표준도 $(r, \theta, \phi)$이다. 게다가 위키에 따르면 미국의 수학 교재에서 $(r, \phi, \theta)$와 같은 표기를 쓴다는데, 야드파운드법을 포함한 미국단위계의 불합리함을 생각해보자.