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두 에르미트 연산자의 곱이 에르미트 연산자일 조건 📂양자역학

두 에르미트 연산자의 곱이 에르미트 연산자일 조건

정리

두 연산자 AA, BB가 에르미트 연산자라고 하자. AA, BB가 교환가능하면 ABAB도 에르미트 연산자$Hermitian operator이다. 역도 성립한다.

설명

역의 대우를 생각해보면 교환 가능하지 않은 두 연산자를 곱하면 에르미트 연산자가 아니라는 것을 알 수 있다. 즉 다음이 모두 성립한다.

  • 정리: 두 에르미트 연산자 A,BA,B가 교환가능하면, ABAB도 에르미트 연산자이다.
  • 역: ABAB가 에르미트 연산자면, AA와 BB는 교환가능하다.
  • 이: 두 에르미트 연산자 A,BA, B가 교환가능하지 않으면, ABAB는 에르미트가 아니다.

증명

ABAB가 에르미트 연산자임을 보이려면 (AB)†=AB(AB)^{\dagger} = AB임을 보이면 된다. ABAB는 다음과 같다.

[A,B]=AB−BA  ⟹  AB=BA+[A,B] \begin{align*} && [A, B] &= AB - BA \\ \implies && AB &= BA + [A, B] \end{align*}

(AB)†(AB)^{\dagger}를 계산해보면 다음과 같다.

(AB)†=(BA+[A,B])†=(BA)†+[A,B]†=AB+[A,B]† (AB)^{\dagger} = (BA + [A, B])^{\dagger} = (BA)^{\dagger} + [A,B]^{\dagger} = AB + [A,B]^{\dagger}

가정에 의해 AB=BAAB = BA이므로, [A,B]†=0[A,B]^{\dagger} = 0이면 (AB)†=AB(AB)^{\dagger} = AB이다. 따라서 [A,B]=0[A,B]=0 이면 [A,B]†=0[A,B]^{\dagger} = 0이고 ABAB는 에르미트 연산자이다.

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역

A,BA,B가 에르미트 연산자이므로 (AB)†=B†A†=BA(AB)^{\dagger}=B^{\dagger} A^{\dagger} = BA이다. 이 때 ABAB가 에르미트 연산자이면 다음이 성립한다.

(AB)†=AB (AB)^{\dagger} = AB

따라서 AB=BAAB=BA이다.

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