📂편미분방정식

타원형 편미분 방정식

정의^{1 2}

아래와 같은 $u(x,y)$에 대한 2계 선형 편미분방정식을 생각하자.

$$ Au_{xx} + Bu_{xy} + Cu_{yy} + Du_{x} + Eu_{y} + Fu + G = 0\qquad (ABC \ne 0) \tag{1} $$

여기서 계수 $A, \dots, G$들은 $(x,y)$에 대한 함수이다. $\Delta = B^{2} - 4AC$를 판별식^discriminant이라 한다. 판별식이 음수인 편미분방정식 $(1)$을 타원형 편미분방정식^{elliptic PDE}이라 한다.

$$ (1) \text{ is called elliptic, if } \Delta (x,y) \lt 0. $$

설명

사실 타원형 편미분방정식이라 말하는 경우는 거의 없고, 흔히 음차 그대로 [엘립틱 피디이]^{elliptic PDE}라 부른다. 이름의 유래는 당연하게도 타원이다.

이차곡선 $Ax^{2} + Bxy + Cy^{2} + Dx + Ey + F = 0$이 $B^{2} - 4AC \lt 0$을 만족하면 타원이다.

좁은 의미로는 푸아송 방정식을 의미한다.

$$ \Delta u = -f \qquad (\Delta = 0^{2} - 4(1)(1) = -4) $$