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로그함수에 대한 부등식 1-1/x < log x < x-1

정리

밑이 $e$인 로그함수에 대해서 다음의 부등식이 성립한다.

$$1 - \dfrac{1}{x} \le \ln x \le x - 1\qquad \text{ for } x \gt 0$$

증명¹

Part 1. $\ln x \le x - 1$

$f(x) = x - 1 - \ln x$라 두자. 이를 미분하면, $f^{\prime}(x) = 1 - \dfrac{1}{x}$ $(x>0)$ 이다.

• $0 \lt x \lt 1$인 곳에서는 $f^{\prime} \lt 0$
• $x = 1$이면 $f^{\prime} = 0$
• $x \gt 1$인 곳에서는 $f^{\prime} \gt 0$

$f^{\prime}(1) = 0$이므로, $f$는 $1$에서 최솟값 $0$을 갖는다. 따라서,

$$0 \le f(x) \implies 0 \le x - 1 - \ln x \implies \ln x \le x - 1 \qquad \text{ for } x > 0$$

Part 2. $1 - \dfrac{1}{x} \le \ln x$

다시 $f(x) = \ln x - 1 + \dfrac{1}{x}$라고 두자. 이를 미분하면, $f^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x^{2}} = \dfrac{1}{x}\left( 1 - \dfrac{1}{x} \right)$ $(x > 0)$이다.

• $0 \lt x \lt 1$인 곳에서는 $f^{\prime} \lt 0$
• $x = 1$이면 $f^{\prime} = 0$
• $x \gt 1$인 곳에서는 $f^{\prime} \gt 0$

$f^{\prime}(1) = 0$이므로, $f$는 $1$에서 최솟값 $0$을 갖는다. 따라서,

$$0 \le f(x) \implies 0 \le \ln x - 1 + \dfrac{1}{x} \implies 1 - \dfrac{1}{x} \le \ln x \qquad \text{ for } x > 0$$

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