📂행렬대수

에르미트 행렬의 고유값 대각화: 스펙트럴 이론 증명

정리

가역행렬 $A \in \mathbb{C}^{m \times m}$ 의 고유값 $\lambda_{i}$ 들로 구성된 대각행렬을 $\Lambda : = \text{diag} ( \lambda_{1} , \lambda_{2} , \cdots , \lambda_{m} )$, 그 고유값들에 해당하는 정규직교 고유벡터 $\mathbb{q}_{i}$ 들로 구성된 직교행렬을 $Q$ 라고 하자.

스펙트럴 이론

$A$ 가 에르미트 행렬인 것과 유니터리 대각화 가능한 것은 동치다: $$ A = A^{\ast} \iff A = Q \Lambda Q^{\ast} $$

설명

$A^{\ast} = \left( \overline{A} \right)^{T}$ 는 $A$ 에 복소켤레를 취한 행렬의 전치행렬로, 에르미트 행렬이라 부른다. 스펙트럴 이론^{spectral Theory}은 다음과 같이 기술되기도 한다.

가역행렬 $A \in \mathbb{C}^{m \times m}$ 가 유니터리 대각화 가능한 것과 필요충분조건은 $$A A^{\ast} = A ^{\ast} A $$

가역행렬을 분해할 수 있다는 것 자체는 고유값 대각화의 과정에서 확인했다. 스펙트럴 이론은 그 역이 성립하는 조건을 제시하고 있어 상당히 중요하다고 할 수 있다. 당장 응용할 수 있는 분야로는 통계학으로, 주성분분석의 이론적 토대가 된다.

한편 스펙트럴 이론에서 말하는 $A = Q \Lambda Q^{\ast}$ 를 다음과 같이 고유쌍 $\left\{ \left( \lambda_{k} , e_{k} \right) \right\}_{k=1}^{n}$ 들의 급수꼴로 나타낸 것을 스펙트럴 분해^{spectral Decomposition}라 한다. $$ A = \sum_{k=1}^{n} \lambda_{k} e_{k} e_{k}^{\ast} $$

증명¹

$(\Longrightarrow)$

가역행렬 $A$ 는 슈어분해가능하므로, $A = Q T Q^{\ast}$ 를 만족하는 유니터리 행렬 $Q$ 와 상삼각행렬 $T$ 가 존재한다. 한편 $A^{\ast} = Q T^{\ast} Q^{\ast}$ 인데 $A^{\ast} = A$ 이므로

$$ Q T Q^{\ast} = Q T^{\ast} Q^{\ast} $$

즉 $T = T^{\ast}$ 다. 이를 만족하는 상삼각행렬은 대각행렬이므로,

$$ T = \Lambda := \text{diag} ( \lambda_{1} , \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{m}) $$

으로 둘 수 있다. $A = Q \Lambda Q^{\ast}$ 의 양변의 오른쪽에 $Q$ 를 곱하면

$$ A Q = Q \Lambda $$

여기서 $Q:= \begin{bmatrix} \mathbb{q}_{1} & \mathbb{q}_{2} & \cdots & \mathbb{q}_{m} \end{bmatrix}$ 는 유니터리 행렬이므로 $A \mathbb{q}_{i} = \lambda_{i} \mathbb{q}_{i}$ 이고 따라서 $\lambda_{i}$ 는 $A$ 의 고유값이 된다.

$(\Longleftarrow)$

$A$ 는 에르미트 행렬이므로 고유값은 모두 실수고 $\Lambda^{\ast} = \Lambda$ 다. 따라서

$$ A^{\ast} = ( Q \Lambda Q^{\ast} )^{\ast} = Q \Lambda^{\ast} Q^{\ast} = Q \Lambda Q^{\ast} = A $$

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