특수 유니터리 군
정의
행렬식이 $1$인 $n \times n$ 유니터리 행렬들의 집합을 $\mathrm{SU}(n)$이라 표기하고 $n$차 특수 유니터리 군special unitary group of degree $n$이라 한다.
$$ \begin{align*} \mathrm{SU}(n) &:= \left\{ n \times n \text{ unitary matrix with determinant } 1 \right\} \\ &\ = {\left\{ A \in M_{n \times n}(\mathbb{C}) : A A^{\ast} = I \text{ and } \det(A) = 1 \right\}} \end{align*} $$
여기서 $A^{\ast}$는 켤레전치행렬, $I$는 단위행렬이다.
설명
| 종류 \ 조건 | 가역행렬 | 행렬식=1 | 직교성 |
|---|---|---|---|
| 일반선형군 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$ | ✅ | ❌ | ❌ |
| 특수선형군 $\operatorname{SL}(n, \mathbb{R})$ | ✅ | ✅ | ❌ |
| 직교군 $\operatorname{O}(n)$ | ✅ | ❌ | ✅ |
| 유니터리군 $\operatorname{U}(n)$ | ✅ | ❌ | ✅ |
| 특수유니터리군 $\operatorname{SU}(n)$ | ✅ | ✅ | ✅ |
유니터리 행렬만 모아놨으므로, 행렬 곱셈에 대해서 군이 된다. 일반선형군 $\mathrm{GL}(n, \mathbb{C})$의 부분군이다.
$$ \mathrm{SU}(n) \subset \mathrm{U}(n) \subset \mathrm{GL}(n, \mathbb{C}) $$