📂추상대수

유니터리 군

정의

$n \times n$ 유니터리 행렬들의 집합을 $\mathrm{U}(n)$이라 표기하고 $n$차 유니터리 군^{unitary group of degree $n$}이라 한다.

$$\mathrm{U}(n) := \left\{ n \times n \text{ unitary matrix} \right\} = {\left\{ A \in M_{n \times n}(\mathbb{C}) : A A^{\ast} = I \right\}}$$

여기서 $A^{\ast}$는 켤레전치행렬이다.

설명

유니터리 행렬이면 가역행렬이므로 $U(n)$은 일반선형군 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$의 부분집합이고, $A, B \in U(n)$에 대해서 $AB^{-1} \in U(n)$이므로 부분군이 된다.

$$U(n) \le \operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$$

종류 \ 조건	가역행렬	행렬식=1	직교성
일반선형군 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$	✅	❌	❌
특수선형군 $\operatorname{SL}(n, \mathbb{R})$	✅	✅	❌
직교군 $\operatorname{O}(n)$	✅	❌	✅
유니터리군 $\operatorname{U}(n)$	✅	❌	✅
특수유니터리군 $\operatorname{SU}(n)$	✅	✅	✅

미분가능한 구조를 갖기 때문에 리 군이다.

행렬 리 군

$\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$의 닫힌 부분군을 행렬 리 군이라 한다. $\operatorname{U}(n)$의 수열 $\left\{ A_{n} \right\}$이 $A$로 수렴한다고 하자. 켤레전치는 연속이므로 $\left\{ (A_{n})^{\ast} \right\}$는 $A^{\ast}$로 수렴한다.

$$\lim\limits_{n \to \infty} (A_{n})^{\ast} = \left( \lim\limits_{n \to \infty} A_{n} \right)^{\ast} = A^{\ast}$$

[극한의 성질]

$$A A^{\ast} = \left[ \lim\limits_{n \to \infty} (A_{n}) \right] \cdot \left[ \lim\limits_{n \to \infty} (A_{n})^{\ast} \right] = \lim\limits_{n \to \infty} \left[ A_{n} (A_{n})^{\ast} \right]$$

따라서 $A \in U(n)$이고, $U(n)$은 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$의 닫힌 부분군이되어 행렬 리 군이다.