유니터리 군
정의
$n \times n$ 유니터리 행렬들의 집합을 $\mathrm{U}(n)$이라 표기하고 $n$차 유니터리 군unitary group of degree $n$이라 한다.
$$ \mathrm{U}(n) := \left\{ n \times n \text{ unitary matrix} \right\} = {\left\{ A \in M_{n \times n}(\mathbb{C}) : A A^{\ast} = I \right\}} $$
여기서 $A^{\ast}$는 켤레전치행렬이다.
설명
유니터리 행렬이면 가역행렬이므로 $U(n)$은 일반선형군 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$의 부분집합이고, $A, B \in U(n)$에 대해서 $AB^{-1} \in U(n)$이므로 부분군이 된다.
$$ U(n) \le \operatorname{GL}(n, \mathbb{R}) $$
| 종류 \ 조건 | 가역행렬 | 행렬식=1 | 직교성 |
|---|---|---|---|
| 일반선형군 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$ | ✅ | ❌ | ❌ |
| 특수선형군 $\operatorname{SL}(n, \mathbb{R})$ | ✅ | ✅ | ❌ |
| 직교군 $\operatorname{O}(n)$ | ✅ | ❌ | ✅ |
| 유니터리군 $\operatorname{U}(n)$ | ✅ | ❌ | ✅ |
| 특수유니터리군 $\operatorname{SU}(n)$ | ✅ | ✅ | ✅ |
행렬 리 군
$\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$의 닫힌 부분군을 행렬 리 군이라 한다. $\operatorname{U}(n)$의 수열 $\left\{ A_{n} \right\}$이 $A$로 수렴한다고 하자. 켤레전치는 연속이므로 $\left\{ (A_{n})^{\ast} \right\}$는 $A^{\ast}$로 수렴한다.
$$ \lim\limits_{n \to \infty} (A_{n})^{\ast} = \left( \lim\limits_{n \to \infty} A_{n} \right)^{\ast} = A^{\ast} $$
행렬 극한의 성질에 의해 다음이 성립한다.
$$ A A^{\ast} = \left[ \lim\limits_{n \to \infty} (A_{n}) \right] \cdot \left[ \lim\limits_{n \to \infty} (A_{n})^{\ast} \right] = \lim\limits_{n \to \infty} \left[ A_{n} (A_{n})^{\ast} \right] = \lim\limits_{n \to \infty} I = I $$
따라서 $A \in U(n)$이고, $U(n)$은 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$의 닫힌 부분군이되어 행렬 리 군이다.