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교환 게이트

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정의¹

$2$큐비트 $\ket{a, b} = \ket{a} \otimes \ket{b}$에 대해서 교환 게이트^{exchage gate} $\text{ex}$를 다음과 같이 정의한다.

$$ \begin{align*} \text{ex} : (\mathbb{C}^{2})^{\otimes 2} &\to (\mathbb{C}^{2})^{\otimes 2} \\ \ket{a, b} &\mapsto \ket{b, a},\quad \forall a,b \in \left\{ 0, 1 \right\} \end{align*} $$

$$ \text{ex} (\ket{a} \otimes \ket{b}) = \ket{b} \otimes \ket{a} $$

설명

교환 게이트는 두 큐비트의 상태를 서로 바꾼다. 구체적인 입출력은 다음과 같다.

$$ \text{ex} (\ket{00}) = \ket{00} \\[0.5em] \text{ex} (\ket{01}) = \ket{10} \\[0.5em] \text{ex} (\ket{10}) = \ket{01} \\[0.5em] \text{ex} (\ket{11}) = \ket{11} $$

행렬표현은 다음과 같다.

$$ \text{ex} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$