logo

큐비트: 양자컴퓨터에서 정보의 기본단위 📂양자정보이론

큐비트: 양자컴퓨터에서 정보의 기본단위

양자정보이론
[ 펼치기 · 접기 ]

정의1

C\mathbb{C} 위의 벡터공간 C2\mathbb{C}^{2}의 두 단위벡터 [10]\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, [01]\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}를 디랙 노테이션으로 다음과 같이 표기하자.

∣0⟩=[10]∣1⟩=[01] \ket{0} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\qquad \ket{1} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}

집합 {∣0⟩,∣1⟩}\left\{ \ket{0}, \ket{1} \right\}의 원소를 큐비트qubit, 양자비트라 한다.

C2\mathbb{C}^{2}의 nn텐서곱 (C2)⊗n=C2⊗⋯⊗C2⏞n\left( \mathbb{C}^{2} \right)^{\otimes n} = \overbrace{\mathbb{C}^{2} \otimes \cdots \otimes \mathbb{C}^{2}}^{n}의 표준기저

{∣0⟩⊗⋯⊗∣0⟩,…,∣1⟩⊗⋯⊗∣1⟩} \left\{ \ket{0} \otimes \cdots \otimes \ket{0}, \dots, \ket{1} \otimes \cdots \otimes \ket{1} \right\}

의 원소를 nn큐비트nnqubit라 한다.

설명

qubit는 quantum bit의 줄임말이다. 비트bit가 고전컴퓨터에서 정보처리의 최소단위라면, 큐비트는 양자컴퓨터에서 정보처리의 최소단위이다.

nn큐비트는 다음과 같이 간단히 표기한다. a=(a0,a1,…,an−1)∈{0,1}na = (a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n-1}) \in \left\{ 0, 1 \right\}^{n}를 nn비트라고 하면,

∣a⟩=∣a0,a1,…,an−1⟩=∣a0a1…an−1⟩=∣a0⟩⊗∣a1⟩⊗⋯⊗∣an−1⟩ \begin{align*} \ket{a} &= \ket{a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n-1}} \\ &= \ket{a_{0} a_{1} \dots a_{n-1}} \\ &= \ket{a_{0}} \otimes \ket{a_{1}} \otimes \cdots \otimes \ket{a_{n-1}} \end{align*}

예시: (C2)⊗2(\mathbb{C}^{2}) ^{\otimes 2}

가장 간단한 예로 (C2)⊗2=C2⊗C2≅C4(\mathbb{C}^{2}) ^{\otimes 2} = \mathbb{C}^{2} \otimes \mathbb{C}^{2} \cong \mathbb{C}^{4}인 경우를 구체적으로 보자. 22큐비트는 다음과 같이 표기한다.

∣00⟩=∣0,0⟩=∣0⟩⊗∣0⟩,∣01⟩=∣0,1⟩=∣0⟩⊗∣1⟩∣10⟩=∣1,0⟩=∣1⟩⊗∣0⟩,∣11⟩=∣1,1⟩=∣1⟩⊗∣1⟩ \ket{00} = \ket{0,0} = \ket{0} \otimes \ket{0},\qquad \ket{01} = \ket{0,1} = \ket{0} \otimes \ket{1} \\ \ket{10} = \ket{1,0} = \ket{1} \otimes \ket{0},\qquad \ket{11} = \ket{1,1} = \ket{1} \otimes \ket{1}

각각의 22큐비트를 행렬로 표현하면, 크로네커 곱의 정의에 따라 다음과 같다.

∣00⟩=∣0⟩⊗∣0⟩=[10]⊗[10]=[1[10]0[10]]=[1000]∣01⟩=∣0⟩⊗∣1⟩=[10]⊗[01]=[1[01]0[01]]=[0100]∣10⟩=∣1⟩⊗∣0⟩=[01]⊗[10]=[0[10]1[10]]=[0010]∣11⟩=∣1⟩⊗∣1⟩=[01]⊗[01]=[0[01]1[01]]=[0001] \begin{align*} \ket{00} &= \ket{0} \otimes \ket{0} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\[1em] 0 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\ \ket{01} &= \ket{0} \otimes \ket{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \\[1em] 0 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\ \ket{10} &= \ket{1} \otimes \ket{0} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\[1em] 1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\ \ket{11} &= \ket{1} \otimes \ket{1} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \\[1em] 1 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \end{align*}

따라서 ⟨ik∣jl⟩=δijδkl\braket{ik | jl} = \delta_{ij}\delta_{kl}이다. 이때 δ\delta는 크로네커 델타이다. 임의의 (C2)⊗2(\mathbb{C}^{2}) ^{\otimes 2}의 원소는 다음과 같다.

(α0∣0⟩+α1∣1⟩)⊗(β0∣0⟩+β1∣1⟩)=α0β0∣0⟩⊗∣0⟩+α0β1∣0⟩⊗∣1⟩+α1β0∣1⟩⊗∣0⟩+α1β1∣1⟩⊗∣1⟩=α0β0∣00⟩+α0β1∣01⟩+α1β0∣10⟩+α1β1∣11⟩=α00∣00⟩+α01∣01⟩+α10∣10⟩+α11∣11⟩ \begin{align*} & (\alpha_{0}\ket{0} + \alpha_{1}\ket{1}) \otimes (\beta_{0}\ket{0} + \beta_{1}\ket{1})\\ &= \alpha_{0}\beta_{0} \ket{0} \otimes \ket{0} + \alpha_{0}\beta_{1} \ket{0} \otimes \ket{1} + \alpha_{1}\beta_{0} \ket{1} \otimes \ket{0} + \alpha_{1}\beta_{1} \ket{1} \otimes \ket{1} \\ &= \alpha_{0}\beta_{0} \ket{00} + \alpha_{0}\beta_{1} \ket{01} + \alpha_{1}\beta_{0} \ket{10} + \alpha_{1}\beta_{1} \ket{11} \\ &= \alpha_{00}\ket{00} + \alpha_{01}\ket{01} + \alpha_{10}\ket{10} + \alpha_{11}\ket{11} \\ \end{align*}

특히나 {∣a⟩}a∈{0,1}2\left\{ \ket{a} \right\}_{a \in \left\{ 0, 1 \right\}^{2}}를 (C2)⊗2(\mathbb{C}^{2}) ^{\otimes 2}의 기저라고하면 임의의 ∣ψ⟩∈(C2)⊗2\ket{\psi} \in (\mathbb{C}^{2}) ^{\otimes 2}에 대해,

∣ψ⟩=∑a∈{0,1}2⟨a∣ψ⟩∣a⟩=∑a∈{0,1}2ψa∣a⟩ \ket{\psi} = \sum\limits_{a \in \left\{ 0, 1 \right\}^{2}} \braket{a | \psi} \ket {a} = \sum\limits_{a \in \left\{ 0, 1 \right\}^{2}} \psi_{a} \ket {a}

∣ψ⟩,∣ξ⟩∈(C2)⊗2\ket{\psi}, \ket{\xi} \in (\mathbb{C}^{2}) ^{\otimes 2}의 내적은,

⟨ψ∣ξ⟩=∑a∈{0,1}2ψa‾ξa \braket{\psi | \xi} = \sum\limits_{a \in \left\{ 0, 1 \right\}^{2}} \overline{\psi_{a}} \xi_{a}

이때 ψa‾\overline{\psi_{a}}는 ψa\psi_{a}의 켤레복소수이다.

같이보기

  1. 김영훈·허재성, 양자 정보 이론 (2020), p93-95 ↩︎