📂선형대수

불변부분공간의 직합과 이의 특성다항식

정리¹

$T : V \to V$를 유한차원 벡터공간 $V$ 위의 선형변환이라고 하자. $V$가 $T$-불변 부분공간 $W_{i}$들의 직합이라 가정하자.

$$V = W_{1} \oplus W_{2} \oplus \cdots \oplus W_{k}$$

$f_{i}(t)$를 축소사상 $T|_{W_{i}}$의 특성다항식이라 하자. 그러면 $T$의 특성다항식 $f(t)$는 다음과 같다.

$$f(t) = f_{1}(t) \cdot f_{2}(t) \cdot \cdots \cdot f_{k}(t)$$

증명

수학적 귀납법으로 증명한다.

• $k=2$일 때 성립한다.

  $\beta_{1}, \beta_{2}$를 $W_{1}, W_{2}$의 순서기저라고 하자. 그리고 $\beta = \beta_{1} \cup \beta_{2}$라고 하자. 그러면 직합의 성질에 의해 $\beta$는 $V$의 순서기저이다.

  이제 $A = \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}$, $B_{1} = \begin{bmatrix} T_{W_{1}} \end{bmatrix}_{\beta_{1}}$, $B_{2} = \begin{bmatrix} T_{W_{2}} \end{bmatrix}_{\beta_{2}}$라고 하자. 그러면 $A$는 다음과 같은 블록행렬로 표현된다. $$A = \begin{bmatrix} B_{1} & O \\ O & B_{2} \end{bmatrix}$$ 여기서 $O$는 적절한 크기의 영행렬이라 하자. 그러면 블록행렬의 행렬식에 의해, $$f(t) = \det(A - tI) = \det(B_{1} - tI) \det(B_{2} - tI) = f_{1}(t) \cdot f_{2}(t)$$

• $k-1 \ge 2$일 때 성립한다고 가정하면, $k$일 때 성립한다.

  $V$를 $W_{i}$들의 직합이라 하자. $$V = W_{1} \oplus W_{2} \oplus \cdots \oplus W_{k}$$ $W$를 $W_{i}(1\le i \le k-1)$들의 합이라 하자. $$W = W_{1} + W_{2} + \cdots + W_{k-1}$$ 그러면 $W$는 $T$-불변이고, $V = W \oplus W_{k}$이다. $k=2$일 때의 증명에 의해, $g(t)$를 $T|_{W}$의 특성다항식이라하면, $f(t) = g(t)f_{k}(t)$이다. 사실 $W = W_{1} \oplus W_{2} \oplus \cdots \oplus W_{k-1}$가 성립하고, 가정에 의해 $g(t) = f_{1}(t) \cdots f_{k-1}(t)$이다. 따라서 $$f(t) = g(t)f_{k}(t) = f_{1}(t) f_{2}(t) \cdots f_{k}(t)$$

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