📂선형대수

케일리-해밀턴 정리

정의¹

$T : V \to V$를 유한차원 벡터공간 $V$ 위의 선형변환이라고 하자. $f(t)$를 $T$의 특성다항식이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$f(T) = T_{0}$$

이때 $T_{0}$는 영변환이다. 다시말해 선형변환은 자기 자신의 특성다항식을 만족시킨다. 이 정리를 행렬의 입장에서 다시 쓰면,

따름정리

정사각행렬은 자기 자신의 특성 방정식을 만족시킨다.

$$f(A) = O$$

설명

사장과 동년배인 손님들은 고등학교에서부터 행렬을 배웠을텐데, 그 때 보았던 케일리-해밀턴 정리가 바로 이것이다.(사실 로피탈 정리와 같이 교육과정에는 없었다고 한다²)

2차 정사각행렬 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$에 대해서, 다음이 성립한다. $$A^{2} -(a + d)A + (ad - bc)I = O$$

증명

우리가 보여야할 것은 모든 $\mathbf{v} \in V$에 대해서, $f(T)(\mathbf{v}) = \mathbf{0}$이 성립한다는 것이다. $T$가 선형변환이므로, $\mathbf{v} = \mathbf{0}$인 경우에는 자명하다. $\mathbf{v} \ne \mathbf{0}$이라 가정하자.

$W$를 $\mathbf{v}$에 의해 생성되는 $T$-순환 부분공간이고, $k = \dim(W)$라 하자.

순환 부분공간에 대한 보조정리

1. $\left\{ \mathbf{v}, T\mathbf{v}, \dots, T^{k-1}\mathbf{v} \right\}$는 $W$의 기저이다.

2. 만약 $a_{0}\mathbf{v} + a_{1}T \mathbf{v} + \cdots + a_{k-1}T^{k-1} \mathbf{v} + T^{k}\mathbf{v} = \mathbf{0}$이면, 축소사상 $T|_{W}$의 특성다항식은 $$f(t) = (-1)^{k}\left( a_{0} + a_{1}t + \cdots +a_{k-1}t^{k-1} + t^{k} \right)$$

보조정리 1.에 의해 다음을 만족하는 상수 $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{k-1}$이 존재한다.

$$\begin{equation} a_{0}\mathbf{v} + a_{1}T\mathbf{v} + \cdots + a_{k-1}T^{k-1}\mathbf{v} + T^{k}\mathbf{v} = \mathbf{0} \end{equation}$$

그러면, 보조정리 2.에 의해, 축소사상 $T|_{W}$의 특성다항식은 다음과 같다.

$$\begin{equation} g(t) = (-1)^{k}\left( a_{0} + a_{1}t + \cdots +a_{k-1}t^{k-1} + t^{k} \right) \end{equation}$$

그러면 $(1)$과 $(2)$에 의해 다음을 얻는다.

$$g(T)(\mathbf{v}) = (-1)^{k}\left( a_{0}I + a_{1}T + \cdots +a_{k-1}T^{k-1} + T^{k} \right)(\mathbf{v}) = \mathbf{0}$$

불변 부분공간에 대한 보조정리

$W$가 $T$-불변 부분공간이면, $T|_{W}$의 특성다항식은 $T$의 특성다항식을 나눈다.

위의 보조정리에 의해 $g(t)$는 $T$의 특성다항식 $f(t)$를 나눈다. 따라서 어떤 다항식 $q(t)$에 대해서 $f(t) = q(t)g(t)$가 성립한다. 그러므로

$$f(T)(\mathbf{v}) = q(T)g(T)(\mathbf{v}) = g(T)\left( g(T)(\mathbf{v}) \right) = g(T)(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$$

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