📂선형대수

멱영 변환의 영 공간

정리¹

$n$차원 벡터공간 위의 선형변환 $T : V \to V$가 멱영이라고 하자.

$$ T^{p} = T_{0} $$

여기서 $T_{0}$는 영변환이다. $N(T)$를 $T$의 영공간이라하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. 모든 $i \in \mathbb{N}$에 대해서, $N(T^{i}) \subset N(T^{i+1})$이다.

2. $1 \le i \le p-1$에 대해서, 다음이 성립하는 $N(T^{i})$들의 순서기저 $\beta_{i}$가 존재한다. $$ \beta_{i} \subset \beta_{i+1} $$

3. 2.의 방법으로 얻은 $N(T^{p}) = V$의 순서기저를 $\beta = \beta_{p}$라고 하자. 그러면 행렬표현 $\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}$는 순상삼각행렬이다.

4. $T$의 특성다항식은 $(-1)^{n}t^{n}$이다. 따라서 $T$는 분해되고, $T$의 고유값은 오직 $0$뿐이다.

설명

1. 영공간은 $V$의 부분공간이므로, $N(T^{i})$들은 점점 커지는 $V$의 부분공간들이다. 진부분공간은 최대 $p-1$개까지 존재한다. $$ \left\{ \mathbf{0} \right\} \le N(T^{1}) \le N(T^{2}) \le \cdots \le N(T^{p}) = V $$

2. 멱영의 고유값은 오직 $0$인 것 자체는 다른 증명으로 쉽게 보일 수 있다.

증명

1.

만약 $T^{i}\mathbf{v} = \mathbf{0}$이면, $T^{i+1}\mathbf{v} = TT^{i}\mathbf{v} = T\mathbf{0} = \mathbf{0}$이다.

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2.

$N(T^{1})$의 순서기저를 임의로 하나 $\beta_{1}$로 택하자. 그러면, 1.의 결과로부터, $\beta_{1}$을 확장하여 $N(T^{2})$의 순서기저가 되는 $\beta_{2}$를 얻을 수 있다. 이를 반복하여 $\beta_{i}$들을 얻으면 증명완료.

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