📂행렬대수

정사각 순삼각행렬은 멱영이다

정리¹

$n \times n$ 순삼각행렬 $A$는 멱영행렬이다.

설명

역은 성립하지 않는다. 간단한 반례로 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}$이면,

$$ A^{2} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} $$

증명 방법은 동일하므로, 상삼각행렬에 대해서만 설명한다.

증명

수학적 귀납법으로 증명한다.

• $n=1$일 때 성립한다.

  $A$를 $1 \times 1$ 순상삼각행렬이라 하자. $$ A = \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix} $$ 자명히 멱영이다.

• $n=k$일 때 성립한다고 가정하면, $n=k+1$일 때 성립한다.

  $A$를 $(k+1) \times (k+1)$ 순상삼각행렬이라 하자. 그러면 $k \times k$ 순상삼각행렬 $B$에 대해서, $A$는 다음과 같은 블록행렬로 표현된다. $$ A = \begin{bmatrix} B & \begin{bmatrix} a_{1k+1} \\ a_{2k+1} \\ \vdots \\ a_{kk+1} \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} B & C \\ O_{1k} & \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} $$ 그러면 $A$의 거듭제곱을 계산해보면 다음과 같다. $$ \begin{align*} A^{2} &= \begin{bmatrix} B & C \\ O_{1k} & \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B & C \\ O_{1k} & \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} B^{2} & BC \\ O_{1k} & \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} \\ A^{3} &= \begin{bmatrix} B^{2} & BC \\ O_{1k} & \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B & C \\ O_{1k} & \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} B^{3} & B^{2}C \\ O_{1k} & \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} \\ \vdots & \\ A^{p+1} &= \begin{bmatrix} B^{p+1} & B^{p}C \\ O_{1k} & \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} \end{align*} $$ $B^{p} = O_{kk}$라고 하자. 그러면 $A^{p+1} = O_{k+1k+1}$이므로 $n=k+1$인 순상삼각행렬은 멱영이다.

■