📂선형대수

멱영의 고유값은 오직 0뿐이다

정리¹

$V$를 유한차원 벡터공간, 선형변환 $T : V \to V$를 멱영이라고 하자. 그러면 $T$의 고유값은 오직 $0$뿐이다.

증명

$T$가 $T^{k} = T_{0}$인 멱영이라고 가정하자. $T_{0}$는 영변환이다. 그리고 $\lambda$를 $T$의 고유값, 이에 대응되는 고유벡터를 $\mathbf{v} \in V$라고 하자.

$$T\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$$

양변에 $T^{k-1}$를 취하면, $T^{k-1}(T\mathbf{v}) = T^{k-1}(\lambda \mathbf{v})$이다. 좌변부터 정리하면 다음과 같다.

$$T^{k-1}(T\mathbf{v}) = T^{k}(\mathbf{v}) = T_{0}\mathbf{v} = \mathbf{0}$$

이때 $\mathbf{0}$는 벡터공간 $V$의 영벡터이다. 우변을 정리하면, $T$가 선형변환이므로, 다음과 같다.

$$T^{k-1}(\lambda \mathbf{v}) = \lambda T^{k-1}\mathbf{v} = \lambda T^{k-2}(T\mathbf{v}) = \lambda T^{k-2}(\lambda \mathbf{v}) = \lambda^{2}T^{k-2}\mathbf{v} = \cdots = \lambda^{k-1}\mathbf{v}$$

따라서 다음을 얻는다.

$$\mathbf{0} = \lambda^{k-1}\mathbf{v}$$

그런데 $\mathbf{v}$는 고유벡터이므로 영벡터가 아니다. 따라서 위 식이 성립하려면

$$\lambda^{k-1} = 0 \implies \lambda = 0$$

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