📂선형대수

멱영 선형변환

정의¹

벡터공간 $V$ 위의 선형변환 $T : V \to V$에 대해서, $T^{k} = T_{0}$를 만족하는 양수 $k$가 존재하면, $T$를 멱영^nilpotent이라 한다. 이때 $T_{0}$는 영변환이다.

설명

nil은 '영' 혹은 '없음'을 의미한다. potent의 의미는 '유력한'이며, potential의 어근이다. 따라서 nilpotent라는 말은 ‘$0$이 될 가능성/잠재력이 있는 것’으로 받아들이면 된다. ‘멱冪'은 수학에서 거듭제곱을 의미하고 '영零'은 숫자 $0$을 뜻한다. 따라서 멱영이란 이름 그대로 거듭제곱해서 $0$이 되는 선형사상을 의미한다.

정리

멱영인 선형변환 $T$는 다음의 성질들을 갖는다.

• [1]: $\beta$를 $V$의 순서기저라고 하자. 그러면 $T$가 멱영인 것은 $T$의 행렬표현 $\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}$가 멱영행렬인 것과 동치이다.
  • $T$의 행렬표현은 순상삼각행렬이다.
• [2]: $T : V \to V$를 유한차원 벡터공간 $V$ 위의 선형변환이라고 하자. $n$-유한차원 벡터공간 $V$ 에서 정의된 선형변환 $T : V \to V$ 의 모든 고유값이 $0$ 이라면, $T$ 는 멱영 선형변환이다.
• [3]: 치역이 영공간보다 작다 $R(T) \subset N(T)$

증명

[2] ²

$(\implies)$

케일리-해밀턴 정리: $T : V \to V$를 유한차원 벡터공간 $V$ 위의 선형변환이라고 하자. $f(t)$를 $T$의 특성다항식이라 하자. 그러면 다음이 성립한다. $$f(T) = T_{0}$$ 이때 $T_{0}$는 영변환이다.

$A \in M_{n \times n}(F)$라고 하자. 다항식 $f(t) = \det(A - tI)$를 $A$의 특성 다항식^{characteristic polynomial}이라 한다. $f(t) = 0$을 특성 방정식^{characteristic equation}이라 한다. $V$를 $n$차원 벡터공간이라고 하자. $T : V \to V$를 선형변환이라고 하자. $\beta$를 $V$의 순서기저라고 하자. $T$의 특성 다항식 $f(t)$를 $T$의 행렬표현의 특성 다항식으로 정의한다. 다시말해 $f(t)$는 다음과 같다. $$f(t) = \det\left( \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta} - t I \right)$$

멱영 선형변환의 정의: 벡터공간 $V$ 위의 선형변환 $T : V \to V$에 대해서, $T^{k} = T_{0}$를 만족하는 양수 $k$가 존재하면, $T$를 멱영^nilpotent이라 한다. 이때 $T_{0}$는 영변환이다.

$T$ 의 모든 고유값이 $0$ 이므로 그 특성방정식은 $f(t) = t^{n}$ 이고, 케일리-해밀턴 정리에 따라 $$T^{n} = f(T) = T_{0}$$ 이므로 $T$ 는 멱영변환이다.

$(\impliedby)$

어떤 $k \in \mathbb{N}$ 에 대해서 $T^{k} = T_{0}$ 이고 곱의 행렬식은 행렬식의 곱과 같으므로, $$(\det(T))^{k} = \det(T^{k}) = \det \left( T_{0} \right) = 0 \implies \det(T) = 0$$

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같이보기

• 멱영 행렬