삼각함수의 합성 공식
공식
사인으로의 합성
$$ A \cos \theta + B \sin \theta = C\sin(\theta + \phi) $$
이때 $C = \sqrt{A^{2} + B^{2}}$, $\phi = \sin^{-1} \left( \dfrac{A}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} \right) = \cos^{-1} \left( \dfrac{B}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} \right)$이다.
코사인으로의 합성
$$ A \cos \theta + B \sin \theta = C\cos(\theta - \phi) $$
이때 $C = \sqrt{A^{2} + B^{2}}$, $\phi = \sin^{-1} \left( \dfrac{B}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} \right) = \cos^{-1} \left( \dfrac{A}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} \right)$이다.
증명
두 항 $A \cos \theta + B \sin \theta$를 $\sqrt{A^{2} + B^{2}}$으로 묶어주면,
$$ A \cos \theta + B \sin \theta = \sqrt{A^{2} + B^{2}} \left( \dfrac{A}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}\cos \theta + \dfrac{B}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}\sin \theta \right) $$
여기서 $-1 \lt \dfrac{A}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} \lt 1$이므로, 이 값을 $\sin \phi$라고 두자.
$$ \sin \phi = \dfrac{A}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} $$
그러면 $\sin^{2} \phi - 1 = \cos^{2} \phi$이므로,
$$ \sin^{2} \phi - 1 = \dfrac{A^{2}}{A^{2} + B^{2}} - \dfrac{A^{2} + B^{2}}{A^{2} + B^{2}} = \dfrac{B^{2}}{A^{2} + B^{2}} = \cos \phi $$
$$ \implies \dfrac{B}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} = \cos \phi $$
이제 $C = \sqrt{A^{2} + B^{2}}$라두면, 삼각함수의 덧셈정리에 의해,
$$ A \cos \theta + B \sin \theta = C \left( \sin\phi \cos\theta + \cos\phi \sin\theta \right) = C\sin(\theta + \phi) $$