📂동역학

미분방정식으로 표현되는 시스템의 카오스

정의 ¹

함수 $f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$ 에 대해 다음과 같은 벡터필드가 미분 방정식으로 주어져 있다고 하자. $$ \dot{x} = f(x) $$ 한 점 $x_{0} \in X$ 에 대해 이 시스템의 오빗 $\phi_{t} ( x_{0} )$ 이 다음의 조건들을 만족하면 캐어릭^chaotic하다고 말한다:

• (i): $t \ge 0$ 에 대해 $\phi_{t} ( x_{0} )$ 는 유계다.
• (ii): $\phi_{t} ( x_{0} )$ 의 랴푸노프 스펙트럼 중 적어도 하나는 양수다.
• (iii): 오메가 리미트 셋 $\omega \left( x_{0} \right)$ 은 피리어딕하지 않으면서 고정점 하나만으로 이루어져 있지 않거나, 고정점들을 잇는 아크만으로 이루어져 있지 않다.

설명

정의에서 (iii)은 쉽게 말해서 푸앙카레-벤딕슨 정리에서 배제하는 조건들이다. 랴푸노프 스펙트럼 중 하나가 양수라는 것은 곧 초기조건에 민감하다는 것이고, 케이어스^chaos라고 하는 개념에서 빠져서는 안 될 요소다.

같이보기

• 불변 집합의 카오스
• 다차원 맵의 카오스