📂선형대수

대각화가능한 선형변환의 몫공간 위의 변환도 대각화가능하다

정리¹

$V$를 $n$차원 벡터공간, $T : V \to V$를 선형변환이라고 하자. $W$를 $T$-불변 부분공간이라하자. $T$가 대각화가능하면, $\overline{T} : V/W \to V/W$도 대각화가능하다. 이때 $V/W$는 $V$의 몫공간이다.

증명

$T$가 대각화가능하면, $T|_{W}$도 대각화가능하므로 $\begin{bmatrix}T|_{W} \end{bmatrix}_{\gamma}$가 대각행렬이 되도록 하는 $W$의 기저 $\gamma = \left\{ v_{1}, v_{2}, \dots, v_{k} \right\}$가 존재한다. 이때 $\gamma$는 $T$의 고유벡터들 집합임을 기억하자. 각각의 $T$의 고유값 $\lambda$에 대해서 이에 대응되는 고유벡터가 $\gamma$에 존재하면 선택한다. 선택된 고유벡터들의 집합이 고유값 $\lambda$에 대응되는 고유공간 $E_{\lambda}$의 기저가 아니면, 이를 확장시켜 $E_{\lambda}$의 기저가 되도록 할 수 있다. 이렇게 만든 $E_{\lambda}$의 기저들의 합집합을 $\beta$라고 하자.

보조정리

만약 $T$가 대각화가능하고, $\beta_{i}$가 $E_{\lambda_{i}}$의 순서기저이면, $\beta = \beta_{1} \cup \cdots \cup \beta_{k}$는 $T$의 고유벡터를 포함하는 $V$의 순서기저이다.

그러면 $\beta$는 $V$의 고유벡터로 이루어진 순서기저이다. 따라서 $\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}$는 대각행렬인다. 그런데 이러한 방법으로 만들어진 기저에 대해서, $\beta = \gamma \cup \alpha$라고하면, 다음이 성립한다.

$$\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta} = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} T|_{W} \end{bmatrix}_{\gamma} & A \\ O & \begin{bmatrix}\ \overline{T}\ \end{bmatrix}_{\alpha} \end{bmatrix}$$

따라서 $\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}$가 대각행렬이므로, $\begin{bmatrix}\ \overline{T}\ \end{bmatrix}_{\alpha}$가 대각행렬이고, $\overline{T}$는 대각화가능하다.

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