📂선형대수

몫 공간 위의 선형변환

정의 ¹

$V$를 벡터공간 $T : V \to V$를 선형변환이라고 하자. $W \le V$를 $T$-불변 부분공간이라고 하자. 몫 공간 위의 선형변환^{linear transformation on quotient space} $\overline{T}$를 다음과 같이 정의한다.

$$\begin{align*} \overline{T} : V/W &\to V/W \\ v + W &\mapsto T(v) + W \end{align*}$$

여기서 $V/W$는 몫 공간이다.

정리

(a) $\overline{T}$는 잘 정의된다.

(b) $\overline{T}$는 실제로 선형변환이다.

(c) 몫 공간으로의 사상 $\eta : V \to V/W$에 대해서, $\eta T = \overline{T} \eta$이다. 즉, 다음의 그림은 교환가능하다.

$$\begin{CD} V @>T>> V \\\ @VV \eta V @VV \eta V \\\ V/W @> \overline{T} >> V/W \end{CD}$$

증명

(a)

$v_{1} + W = v_{2} + W$일 때, $\overline{T}(v_{1} + W) = \overline{T}(v_{2} + W)$임을 보이면 된다. $v_{1} + W = v_{2} + W$라고 하자. 잉여류의 성질에 의해 이는 $v_{1} - v_{2} \in W$와 동치이다. 따라서, $W$가 $T$-불변이고 $T$가 선형변환이므로,

$$T(v_{1}) - T(v_{2}) = T(v_{1} - v_{2}) \in W$$

따라서 $T(v_{1}) - T(v_{2}) \in W \iff T(v_{1}) + W = T(v_{2}) + W$이므로,

$$v_{1} + W = v_{2} + W \implies \overline{T}(v_{1} + W) = \overline{T}(v_{2} + W)$$

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(b)

잉여류의 덧셈과 상수곱셈

$$(v_{1} + W) + (v_{2} + W) = (v_{1} + v_{2}) + W,\quad \forall v_{1}, v_{2} \in V$$

$$a(v + W) = av + W\quad \forall v \in V \text{ and } a \in F$$

$T$가 선형변환이므로,

$$\begin{align*} \overline{T}\left( (av_{1} + v_{2}) + W \right) &= T(av_{1} + v_{2}) + W \\ &= \left( aT(v_{1}) + T(v_{2}) \right) + W \\ &= \left( aT(v_{1}) + W \right) + \left( T(v_{2}) + W \right) \\ &= a\left( T(v_{1}) + W \right) + \overline{T}(v_{2} + W) \\ &= a\overline{T}(v_{1} + W) + \overline{T}(v_{2} + W) \\ \end{align*}$$

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(c)

정의에 의해 쉽게 보일 수 있다.

$$\begin{align*} \eta\left( T(v) \right) &= T(v) + W \\ &= \overline{T}(v + W) \\ &= \overline{T}\left( \eta (v) \right) \end{align*}$$

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