📂선형대수

몫 공간으로의 사상

정리¹

$V$를 벡터공간, $W \le V$를 부분공간이라고 하자. 함수 $\eta$를 다음과 같이 정의하자.

$$\begin{align*} \eta : V &\to V/W \\ v &\mapsto v + W \end{align*}$$

이때 $V/W$는 $V$의 몫 공간이다. 그러면

• $\eta$는 선형변환이고 영공간은 $N(\eta) = W$이다.

• $V$가 유한차원이면,

  $$\begin{equation} \dim(W) + \dim(V/W) = \dim(V) \end{equation}$$

설명

차원에 관한 결과 $(1)$은 다른 증명으로도 얻을 수 있다.

증명

다음이 성립하므로 $\eta$는 선형변환이다.

$$\begin{align*} \eta (av + u) &= (av + u) + W \\ &= (av + W) + (u + W) \\ &= a(v + W) + (u + W) \\ &= a\eta (v) + \eta (u) \\ \end{align*}$$

$V/W$의 영벡터는 $W$이다. 임의의 $w \in W$에 대해서 $w + W = W$이므로, $N(\eta) = W$이다. 또한 임의의 $v + W \in V/W$에 대해서 $v \in V$가 존재하므로, $\eta$의 치역은 $R(\eta) = V/W$이다. 그러면 차원정리에 의해서,

$$\begin{align*} &&\rank(\eta) + \nullity(\eta) &= \dim(V) \\ \implies &&\dim(R(\eta)) + \dim(N(\eta)) &= \dim(V) \\ \implies &&\dim(V/W) + \dim(W) &= \dim(V) \\ \end{align*}$$

■