📂행렬대수

정부호 행렬

정의¹

정부호 행렬

이차 형식 $\mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x}$가

• 모든 $\mathbf{x} \ne \mathbf{0}$ 에 대해서 $\mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} > 0$ 을 만족하면 이차 형식 혹은 행렬 $A$를 양의 정부호^{positive definite}라고 한다.

• 모든 $\mathbf{x} \ne \mathbf{0}$ 에 대해서 $\mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} < 0$ 을 만족하면 이차 형식 혹은 행렬 $A$를 음의 정부호^{negative definite}라고 한다.

• $\mathbf{x}$ 에 따라서 양수이기도 하고 음수이기도 하면 이차 형식 혹은 행렬 $A$를 부정^indefinite이라고 한다.

실수 행렬의 경우에는 정의에서 $\mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x}$부분을 $\mathbf{x}^{T} A \mathbf{x}$로 바꾸어서 생각하면 된다.

준정부호 행렬

이차 형식 $\mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x}$가

• 모든 $\mathbf{x} \ne \mathbf{0}$ 에 대해서 $\mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} \ge 0$ 을 만족하면 이차 형식 혹은 행렬 $A$를 양의 준정부호^{positive semidefinite}라고 한다.

• 모든 $\mathbf{x} \ne \mathbf{0}$ 에 대해서 $\mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} \le 0$ 을 만족하면 이차 형식 혹은 행렬 $A$를 음의 준정부호^{negative semidefinite}라고 한다.

설명

이러한 정의는 깔끔하지만 많은 것이 생략되어 있어 머리로 따라가기가 어렵다. 차근차근 수식과 설명을 봐가면서 개념 자체를 받아들여보도록 하자. 이차 형식의 상수가 복소수인 경우, 즉 $A$가 에르미트 행렬인 경우를 생각해보자. $A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$를 보면 $\lambda$ 는 $A$ 의 고유값이 된다. 양변의 왼쪽에 켤레 전치 $\mathbf{x}^{\ast}$를 곱하면 다음과 같다.

$$ \mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}^{\ast} \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} \cdot \mathbf{x} = \lambda | \mathbf{x} |^{2} $$

여기서 $\mathbf{x} \ne \mathbf{0}$이므로 $|\mathbf{x}| ^2 > 0$이고, 에르미트 행렬의 고유값은 실수이므로 $\lambda |\mathbf{x}| ^2$ 역시 실수다. 따라서 $\mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x}$ 는 실수고, 양수인지 음수인지 확인해볼 수 있다는 뜻이다. 행렬과 벡터의 곱으로 썼을 땐 이해하기 어려웠지만 $\lambda |\mathbf{x}| ^2$ 으로 나타내면 한결 알아보기가 쉽다.

거기에 $\lambda |\mathbf{x}|^{2}$ 의 부호를 생각한다면, 항상 $|\mathbf{x}|^{2} >0$이므로, $\lambda$ 의 부호만 생각하면 된다. 결국 영벡터가 아닌 임의의 벡터에 대해서 $\mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} > 0$라는 말은 $A$ 의 모든 고유값이 양수라는 뜻이다. 반대로 생각하면 음의 정부호 행렬은 모든 고유값이 음수인 행렬이라는 의미이다. 이제 정부호는 원래 음양의 개념이 없는 행렬에 음양(negative/positive)과 같은 개념을 정의(definite)해주는 것으로 생각할 수 있을 것이다. 이러한 내용을 담은 것이 정리1 이다.

또한 가역행렬일 동치 조건에 의해서, 양의 정부호 행렬과 음의 정부호 행렬은 $0$인 고유값을 가지지 않으므로 가역 행렬이다. (정리2)

응용

• 수치선형대수에서는 특히 양의 정부호에 대해 많은 관심을 가진다. 조건으로써 양의 정부호를 생각해보면 에르미트 행렬이 기본인데다가 고유값이 모두 양수라는, 상당히 강한 조건임을 알 수 있다.
• 동역학에서는 음의 정부호 행렬의 성질에 따라 시스템에서 평형점의 안정성을 연구하기도 한다.
• 통계학에서는 기본적으로 공분산행렬이 양의 반정부호 행렬이라 대단히 중요하게 쓰인다.

정리1

이차 형식 $\mathbf{x}^{\ast} A\mathbf{x}$ 에 대해서,

• $\mathbf{x}^{\ast} A\mathbf{x}$가 양의 정부호이기 위한 필요충분조건은 $A$ 의 모든 고유값이 양수인 것이다.

• $\mathbf{x}^{\ast} A\mathbf{x}$가 음의 정부호이기 위한 필요충분조건은 $A$ 의 모든 고유값이 음수인 것이다.

• $\mathbf{x}^{\ast} A\mathbf{x}$가 부정이기 위한 필요충분조건은 $A$가 적어도 하나의 음수인 고유값과 적어도 하나의 양수인 고유값을 갖는 것이다.

정리2

양의 정부호 행렬과 음의 정부호 행렬은 항상 가역 행렬이다.

정리3

$2\times 2$ 대칭 행렬 $A$ 에 대해서

• $A$가 양의 정부호이면 $\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}=1$은 타원의 방정식이다.

• $A$가 음의 정부호이면 $\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}=1$은 그래프를 갖지 않는다.

• $A$가 부정이면 $\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}=1$은 쌍곡선의 방정식이다.