위치, 속도, 가속도
위치
정의
물체의 위치를 나타내는 함수를 위치 함수, 간단히 위치position라 한다.
설명
물리학에서는 시간에 따른 위치의 변화(이를 운동이라 함)를 생각하므로 위치는 $x = x(t)$와 같은 시간을 변수로 갖는 함수이다. 1차원 공간을 가정할 때는 주로 $x$라 표기한다. 2차원 혹은 3차원 공간을 생각할 때는 주로 볼드체 r인 $\mathbf{r}$로 표기하고, 위치 벡터라고 말한다. 수학적으로 표현하면 다음과 같다.
$$ \mathbf{r} : [0, \infty) \to \mathbb{R}^{n},\quad n=1,2,3 $$
3차원 공간에서 주로 쓰이는 위치벡터의 표기로는 다음의 것들이 있다. 위치 함수를 명시적으로 표현하지 않을 땐 변수 $(t)$를 생략해서 쓰는 경우가 많다.
$$ \begin{align*} \mathbf{r} &= \mathbf{r}(t) \\ &= (x(t), y(t), z(t)) \\ &= (x, y, z) \\ &= x\hat{\mathbf{x}} + y\hat{\mathbf{y}} + z\hat{\mathbf{z}} \\ &= x\hat{\mathbf{e}_{1}} + y\hat{\mathbf{e}_{2}} + z\hat{\mathbf{e}_{3}} \\ &= x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} \end{align*} $$
칠판에서는 보통 화살표를 써서 $\vec{r}$과 같이 적지만, 교재에서는 볼드체로 표현해 $\mathbf{r}$로 쓴다. 위치-시간 그래프를 그릴 땐 수평축을 시간 $t$, 수직축을 위치 $x$로 두는 것이 일반적이다.
변위
시간 $t_{0}$부터 $t_{1}$까지 위치의 변화를 변위라고 한다. 잘 쓰지 않는 말이다.
$$ \Delta \mathbf{r} = \mathbf{r}(t_{1}) - \mathbf{r}(t_{0}) $$
시간 $t_{0}$와 $t_{1}$에서의 차이만 생각하므로, 변위가 $0$이라고 해서 그 시간동안 움직이지 않았다는 뜻은 아니다.
속도
정의
위치 함수의 도함수를 속도velocity라 하고, $\mathbf{v}$라 표기한다.
$$ v(t) = \dfrac{d x(t)}{d t} $$
$$ \mathbf{v}(t) = \dfrac{d \mathbf{r}(t)}{d t} $$
설명
속도가 상수함수이면, 물체가 등속 운동uniform motion을 한다고 말한다.
적분은 미분의 역역산이므로 다음이 성립한다.
$$ x(t_{1}) = x(t_{0}) + \int_{t_{0}}^{t_{1}} v(\tau) d\tau $$
평균속도
변위를 운동 시간 $\Delta t = t_{1} - t_{0}$으로 나눈 것을 평균 속도라고 한다.
$$ \overline{v} = \dfrac{\Delta x}{\Delta t} $$
$$ \overline{\mathbf{v}} = \dfrac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t} $$
속력
속도의 크기 $\left| \mathbf{v} \right|$를 속력speed이라 한다. 개인적으로는 속력이라는 말을 쓰지 않아야한다고 생각한다. 딱히 중요한 개념도 아니고 그냥 속도의 크기라고 해도 충분하다. 가속도의 크기, 운동량의 크기에는 특별히 다른 이름이 붙어있지 않음을 생각해보자. 괜히 처음 물리를 배울 때 헷갈리기만 해서 좋지 않다.
도(度)는 정도, 그러니까 스칼라를 의미하고, 력(力)은 힘, 그러니까 벡터를 의미하기 때문에 속도와 속력의 번역이 잘못되었다는 의견이 있다.
가속도
정의
속도의 도함수를 가속도acceleration라 하고, $\mathbf{a}$라 표기한다.
$$ a(t) = \dfrac{d v(t)}{d t} $$
$$ \mathbf{a}(t) = \dfrac{d \mathbf{v}(t)}{d t} $$
설명
가속도는 위치 함수의 이계도함수이다. 적분은 미분의 역역산이므로 다음이 성립한다.
$$ v(t_{1}) = v(t_{0}) + \int_{t_{0}}^{t_{1}} a(\tau) d\tau $$
가속도가 상수함수이면, 물체가 등가속도 운동uniform acceleration motion을 한다고 말한다. 전공 물리를 포함해서, 우리가 배우는 대부분의 물리적인 상황에서 등가속도 운동을 가정한다.