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불변부분공간과 고유벡터의 관계 📂선형대수

불변부분공간과 고유벡터의 관계

정리1

VV를 nn차원 벡터공간, T:V→VT : V \to V를 선형변환, W≤VW \le V를 TT-불변 부분공간 이라고 하자. v1,…,vkv_{1}, \dots, v_{k}를 서로 다른 고유값에 대응되는 TT의 고유벡터라고 하자. 만약 v1+⋯+vk∈Wv_{1} + \cdots + v_{k} \in W이면, 모든 ii에 대해서 vi∈Wv_{i} \in W이다.

설명

WW가 부분공간이므로, vi∈Wv_{i} \in W일 때 ∑ivi∈W\sum_{i}v_{i} \in W인 것은 성립한다. 하지만 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 해당 정리는 viv_{i}들이 고유벡터인 경우에는 역도 성립한다는 것을 말해준다.

증명

수학적 귀납법으로 증명한다.

  • k=1k=1인 경우

    자명하게 v1∈W  ⟹  v1∈Wv_{1} \in W \implies v_{1} \in W이다.

  • k=m−1k = m-1일 때 성립한다고 가정

    이제 k=mk = m일 때, v=v1+⋯vm∈Wv = v_{1} + \cdots v_{m} \in W가 성립한다고 하자. 그러면 WW가 TT-불변이므로,

    T(v)=T(v1+⋯+vm)=T(v1)+⋯T(vm)=λ1v1+⋯+λmvm∈W T(v) = T(v_{1} + \dots + v_{m}) = T(v_{1}) + \cdots T(v_{m}) = \lambda_{1}v_{1} + \cdots + \lambda_{m}v_{m} \in W

    여기서 λi\lambda_{i}는 서로 다른 고유값이다. 그런데 (WW가 부분공간이므로) λmv∈W\lambda_{m}v \in W이고 다음이 성립한다.

    T(v)−λmv=(λ1−λm)v1+⋯+(λm−1−λm)vm−1∈W T(v) - \lambda_{m}v = (\lambda_{1} - \lambda_{m})v_{1} + \cdots + (\lambda_{m-1} - \lambda_{m})v_{m-1} \in W

    그러면 k=m−1k=m-1일 때 성립한다는 가정에 의해 다음을 얻는다.

    (λ1−λm)v1,…,(λm−1−λm)vm−1∈W  ⟹  v1,…,vm−1∈W (\lambda_{1}-\lambda_{m})v_{1}, \dots, (\lambda_{m-1}-\lambda_{m})v_{m-1} \in W \implies v_{1}, \dots, v_{m-1} \in W

    따라서, WW는 부분공간이므로, 다음이 성립한다.

    vm=v−v1−⋯−vm−1∈W v_{m} = v - v_{1} - \cdots - v_{m-1} \in W

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  1. Stephen H. Friedberg, Linear Algebra (4th Edition, 2002), p234 ↩︎