📂선형대수

불변부분공간과 고유벡터의 관계

정리¹

$V$를 $n$차원 벡터공간, $T : V \to V$를 선형변환, $W$를 $T$-불변 이라고 하자. $v_{1}, \dots, v_{k}$를 서로 다른 고유값에 대응되는 $T$의 고유벡터라고 하자. 만약 $v_{1} + \cdots + v_{k} \in W$이면, 모든 $i$에 대해서 $v_{i} \in W$이다.

증명

수학적 귀납법으로 증명한다.

• $k=1$인 경우

  자명하게 $v_{1} \in W \implies v_{1} \in W$이다.

• $k = m-1$일 때 성립한다고 가정

  이제 $k = m$일 때, $v = v_{1} + \cdots v_{m} \in W$가 성립한다고 하자. 그러면 $W$가 $T$-불변이므로,

  $$ T(v) = T(v_{1} + \dots + v_{m}) = T(v_{1}) + \cdots T(v_{m}) = \lambda_{1}v_{1} + \cdots + \lambda_{m}v_{m} \in W $$

  여기서 $\lambda_{i}$는 서로 다른 고유값이다. 그런데 ($W$가 부분공간이므로) $\lambda_{m}v \in W$이고 다음이 성립한다.

  $$ T(v) - \lambda_{m}v = (\lambda_{1} - \lambda_{m})v_{1} + \cdots + (\lambda_{m-1} - \lambda_{m})v_{m-1} \in W $$

  그러면 $k=m-1$일 때 성립한다는 가정에 의해 다음을 얻는다.

  $$ (\lambda_{1}-\lambda_{m})v_{1}, \dots, (\lambda_{m-1}-\lambda_{m})v_{m-1} \in W \implies v_{1}, \dots, v_{m-1} \in W $$

  따라서, $W$는 부분공간이므로, 다음이 성립한다.

  $$ v_{m} = v - v_{1} - \cdots - v_{m-1} \in W $$

■