📂고전역학

위치에 의존하는 질량: 체인이 연결된 볼의 운동

개요¹

체인이 달린 공이 연직 방향으로 운동하는 경우를 생각해보자. 체인이 충분히 길어 공이 위아래로 움직이면서 공중에 떠있는 체인의 길이가 계속 변한다고 하자. 그러면 공의 위치에 따라 물체 전체의 질량이 바뀌게 된다. 즉 물체의 질량이 위치에 의존하게 된다. 이러한 운동에 대해 분석한다.

체인이 연결된 볼의 운동

질량이 $m$인 공에 위 그림과 같이 체인이 연결되어 있다고 하자. 체인하나의 길이는 $1$, 질량은 $\rho$라고 하자. 문제를 단순하게 생각하기 위해, 체인들은 부피가 없고 (겹쳐져있지 않고)끝과 끝이 연결되어있는 상태라고 하자. 그러면 이 물체 "체인이 연결된 공"의 질량은 위치에 의존하는 함수가 된다. $x$를 지면에서 공 바닥(공과 체인의 연결점)까지의 거리라고 할 때, 체인이 연결된 공의 질량은 $M(x) = m + \rho x$이다. 그러면 이 물체의 운동 방정식은 다음과 같다.

$$ \dfrac{d p}{d t} = F \implies \dfrac{d}{dt}\left[ (m + \rho x)\dot{x} \right] = -mg $$

위 식을 부정적분하면 다음을 얻는다.

$$ \begin{equation} m\dot{x} + \rho x \dot{x} = -mgt + C_{1} \end{equation} $$

한편 위 식의 좌변을 바꿔 적분하면 다음을 얻는다.

$$ \dfrac{d}{dt} \left[ mx + \dfrac{\rho x^{2}}{2} \right] = -mgt + C_{1} $$

$$ \begin{equation} \implies mx + \dfrac{\rho x^{2}}{2} = -\dfrac{mg}{2}t^{2} + C_{1}t + C_{2} \end{equation} $$

초기조건을 $x(0) = x_{0}$, $\dot{x}(0) = v_{0}$라고 하면, $(1)$, $(2)$으로부터 두 상수는 각각 다음과 같다.

$$ m v_{0} + \rho x_{0} v_{0} = C_{1} \implies C_{1} = (m + \rho x_{0}) v_{0} $$

$$ m x_{0} + \dfrac{\rho x_{0}^{2}}{2} = C_{2} \implies C_{2} = \left( m + \dfrac{\rho x_{0}}{2} \right) x_{0} $$

최대 높이에 도달하는 시간을 $t_{\ast}$라고 하자. 그러면 $\dot{x}(t_{\ast}) = 0$이므로, $(2)$에 의해,

$$ t_{\ast} = \dfrac{C_{1}}{mg} = \dfrac{m + \rho x_{0} v_{0}}{mg} $$

또한 최대 높이를 $x(t_{\ast}) = x_{\ast}$라고 하자. $(3)$에 $t_{\ast}$를 대입하면,

$$ m x_{\ast} + \dfrac{\rho x_{\ast}^{2}}{2} = -\dfrac{(m + \rho x_{0})^{2} v_{0}^{2}}{2mg} + \dfrac{(m + \rho x_{0})^{2}v_{0}^{2}}{mg} + \left( m + \dfrac{\rho x_{0}}{2} \right)x_{0} $$

이를 $x_{\ast}$에 대한 2차식으로 정리하면,

$$ x_{\ast}^{2} + \dfrac{2m}{\rho}x_{\ast} - \left[ \dfrac{(m + \rho x_{0})^{2} v_{0}^{2}}{mg\rho} + \left(\dfrac{2m}{\rho} + x_{0}\right)x_{0} \right] = 0 $$

위치의 초기값을 지면 $x_{0} = 0$이라고 하면,

$$ x_{\ast}^{2} + \dfrac{2m}{\rho}x_{\ast} - \dfrac{m v_{0}^{2}}{g \rho} = 0 $$

근의 공식으로 $x_{\ast}$의 값을 구하면, $x_{\ast} \lt 0$인 경우를 제외하고 다음과 같다. $$ x_{\ast} = -\dfrac{m}{\rho} + \dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{4m}{\rho}\left( \dfrac{m}{\rho} + \dfrac{v_{0}^{2}}{g}\right)} $$

질량이 상수인 공의 연직운동의 경우 최고 높이가 $x_{\ast} = \dfrac{v_{0}^{2}}{2g}$인 것에 비해서 상당히 복잡하게 표현된다.

같이보기

• 가변질량계의 운동방정식