📂선형대수

선형변환의 고유공간과 기하적 중복도

정의¹

$V$를 $n$차원 벡터공간, $T : V \to V$를 선형변환이라고 하자. $\lambda$를 $T$의 고유값이라 하자. 다음과 같이 정의되는 집합 $E_{\lambda}$를 고유값 $\lambda$에 대응되는 $T$의 고유공간^eigenspace이라 한다.

$$E_{\lambda} = V_{\lambda} := \left\{ x \in V : Tx = \lambda x \right\} = N(T - \lambda I)$$

이때 $N$은 영공간이다.

비슷하게, 정방행렬 $A$의 고유공간이란 $L_{A}$의 고유공간으로 정의한다.

설명

고유벡터가 될 조건에는 영벡터가 아니어야한다는 조건이 있지만, $E_{\lambda}$의 정의에는 $x$가 딱히 고유벡터여야한다는 조건은 없다. 따라서 $E_{\lambda}$는 $\lambda$에 대응되는 고유벡터들과 영벡터의 집합이다. $E_{\lambda}$가 부분공간이 되려면 영벡터가 있어야함을 유의하자. 실제로 $E_{\lambda}$는 $V$의 부분공간이다. $T$가 선형변환이므로 덧셈과 상수곱에 대해서 닫혀있음(부분공간 판별법)이 자명하기 때문이다. $x, y \in E_{\lambda}$라고 하면,

$$T(ax + y) = aT(x) + T(y) = a\lambda x + \lambda y = \lambda (ax + y)$$

이므로 $ax + y \in E_{\lambda}$이다.

기하적 중복도

고유값 $\lambda$에 대응되는 고유공간 $E_{\lambda}$의 차원을 $\lambda$의 기하적 중복도^{geometric multiplicity}라고 한다.

다시 말해 $\lambda$에 대응되는 고유벡터 중 선형독립인 벡터들의 수이며, 그러므로 $1$ 이상의 정수로 값을 갖는다. 최대값은 대수적 중복도와 관련이 있다.

정리

$T$의 고유값 $\lambda$의 대수적 중복도를 $m$이라고 하자. 대수적 중복도는 기하적 중복도보다 크거나 같다.

$$1 \le \dim E_{\lambda} \le m$$

증명

$E_{\lambda}$의 순서기저를 $\gamma = \left\{ v_{1}, \dots, v_{p} \right\}$라고 하자. 이를 확장한 $V$의 순서기저를 $\beta = \left\{ v_{1}, \dots, v_{p}, v_{p+1}, \dots, v_{n} \right\}$이라고 하자. $T$의 행렬표현을 $A = \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}$라고 하자. 그러면 $A$는 다음과 같은 블록행렬이다.

$$A = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} T|_{E_{\lambda}} \end{bmatrix}_{\gamma} & B \\ O_{n-p} & C \end{bmatrix}$$

$O_{n-p}$는 $n-p \times n-p$ 영행렬이다. 이때 $1 \le i \le p$에 대해서, $Tv_{i} = \lambda v_{i}$이므로 $Tv_{i}$의 좌표벡터는 다음과 같다.

$$\begin{bmatrix} Tv_{i} \end{bmatrix}_{\gamma} = \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ \lambda \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}i\text{-th row}$$

따라서, $\begin{bmatrix} T|_{E_{\lambda}} \end{bmatrix}_{\gamma} = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} Tv_{1} \end{bmatrix}_{\gamma} & \cdots & \begin{bmatrix} Tv_{p} \end{bmatrix}_{\gamma} \end{bmatrix}$이므로,

$$A = \begin{bmatrix} \lambda I_{p} & B \\ O & C \end{bmatrix}$$

$I_{p}$는 $p \times p$ 항등행렬이다.

블록 행렬의 행렬식

$A = \begin{bmatrix} A_{1} & A_{2} \\ O & A_{3} \end{bmatrix}$를 블록행렬이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$\det A = \det A_{1} \det A_{3}$$

따라서 $T$의 특성 다항식은 다음과 같다.

$$\begin{align*} f(t) = \det (A - t I_{n}) &= \det \begin{bmatrix} \lambda I_{p} - \lambda I_{p} & B \\ O & C - tI_{n-p} \end{bmatrix} \\ & = \det \left( (\lambda - t)I_{p} \right) \det \left( C - tI_{n-p} \right) \\ & = (\lambda - t)^{p} \det \left( C - tI_{n-p} \right) \\ & = (-1)^{p}(t - \lambda)^{p} \det \left( C - tI_{n-p} \right) \\ \end{align*}$$

이를 보면 $(t - \lambda)^{p}$가 특성 다항식 $f(t)$의 인수임을 알 수 있다. 따라서 $f(t)$는 적어도 $\lambda$를 $p$중근으로 가지며, 대수적 중복도의 정의에 따라 대수적 중복도는 기하적 중복보다 크거나 같다.

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