📂선형대수

대각화가능한 선형변환의 특성다항식은 분해된다

정의¹

$P(F)$의 다항식 $f(t)$가 $F$ 위에서 분해된다^{split over F}는 것은 다음을 만족하는 상수 $c, a_{1}, \dots, a_{n} \in F$가 존재한다는 것을 말한다.

$$f(t) = c(t - a_{1})(t - a_{2})\cdots(t - a_{n})$$

분해되는 $f(t)$가 어떤 선형변환 $T$ 혹은 행렬 $A$의 특성 다항식이면, $T$(혹은 $A$)가 분해된다고 말한다.

설명

정의에 의해 $T: V \to V$의 특성다항식이 분해되면 $T$는 $n = \dim(V)$개의 고유값을 갖는다.(서로 다르다는 말은 하지않았다)

쉬운 예로 $f(t) = t^{2} + 1 = (t-i)(t+i)$은 $\mathbb{R}$ 위에서 분해될 수 없다.

정리

임의의 대각화가능한 선형변환의 특성 다항식은 분해된다.

증명

$V$를 $n$차원 벡터공간, $T : V \to V$를 대각화가능한 선형변환이라고 하자. $\beta$를 $\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta} = D$가 대각행렬이 되게끔 하는 순서기저라고 하자.

$$D = \begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{1} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{bmatrix}$$

그리고 $f(t)$를 $T$의 특성 다항식이라고 하자. 그러면, 특성 다항식은 순서기저의 선택에 의존하지 않으므로,

$$\begin{align*} f(t) &= \det(D - tI) = \det \begin{bmatrix} \lambda_{1} - t & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{1} - t & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} - t \end{bmatrix} \\ &= (\lambda_{1} - t)(\lambda_{2} -t)\cdots(\lambda_{n}-t) \\ &= (-1)^{n}(t-\lambda_{1})(t-\lambda_{2})\cdots(t-\lambda_{n}) \end{align*}$$

■