📂고전역학

치올콥스키 로켓 방정식

공식¹

외력이 없는 1차원에서 공간에서 연료가 분사되는 로켓의 속력을 나타낸 다음과 같은 방정식을 치올콥스키 로켓 방정식^{Tsiolkovsky’s rocket equation}이라 한다.

$$ v = v_{0} + V \ln \dfrac{m_{0}}{m} $$

여기서 $v$는 로켓의 나중속도, $v_{0}$는 로켓의 초기속도, $V$는 로켓에 대한 연료의 상대분사속도, $m$은 로켓의 나중질량, $m_{0}$는 로켓의 초기질량이다.

이상적인 가정인 외력이 존재하지 않는 1차원 공간에서의 방정식이므로 이상 로켓 방정식^{ideal rocket equation}이라고도 한다.

유도

$m$을 로켓의 질량, $\mathbf{v}$를 로켓의 속도, $\mathbf{V}$를 로켓에 대한 연료의 상대분사속도, $\mathbf{F}_{\text{ext}}$를 외력이라고 하자. 그러면 가변질량계의 운동방정식은 다음과 같다.

$$ \mathbf{F}_{\text{ext}} = m \dot{\mathbf{v}} - \mathbf{V}\dot{m} $$

이때 $\dot{}$ [닷(dot)] 은 시간에 대한 미분을 의미한다.

$$ \dot{\mathbf{v}} = \dfrac{d \mathbf{v}}{d t},\quad \dot{m} = \dfrac{d m}{d t} $$

또한 지구나 다른 별의 중력, 공기 저항 등을 무시하고 외력이 $0$인 것으로 가정하자.

$$ m \dot{\mathbf{v}} = \mathbf{V}\dot{m} $$

여기서 우변의 $\mathbf{V}\dot{m}$을 로켓의 추진력^{thrust of the rocket}이라 부르기도 한다. 문제의 단순화를 위해 1차원 공간을 생각하자. 그러면 $\mathbf{v} = v$이고, 연료는 로켓의 반대 방향으로 분사되므로 $\mathbf{V} = -V$이다.

$$ \begin{align*} && m \dot{v} &= -V\dot{m} \\ \implies && m dv &= -V dm \end{align*} $$

그리고 분사속도 $-V$가 일정하다고 가정하자. 이제 로켓의 속도를 구하기위해 변수분리법으로 적분하면,

$$ \begin{align*} && m dv &= -V dm \\ \implies && dv &= -V \dfrac{1}{m} d m \\ \implies && \int_{v_{0}}^{v} dv &= -V \int_{m_{0}}^{m} \dfrac{1}{m} d m \\ \implies && v - v_{0} &= V \ln \dfrac{m_{0}}{m} \\ \end{align*} $$

$$ \implies v = v_{0} + V \ln \dfrac{m_{0}}{m} $$

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같이보기

• 가변질량계의 운동방정식