📂선형대수

서로 다른 고유값들에 대응되는 고유벡터들은 선형독립이다

정리¹

$V$를 벡터공간, $T : V \to V$를 선형변환, $\lambda_{1}, \dots, \lambda_{k}$를 $T$의 서로 다른 고유값이라고 하자. 만약 $\mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{k}$가 각각 고유값 $\lambda_{1}, \dots, \lambda_{k}$에 대응되는 $T$의 고유벡터이면, $\left\{ \mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{k} \right\}$는 선형독립이다.

따름정리

대각화

T가 대각화가능한 것은 $n$개의 선형독립인 $T$의 고유벡터가 존재하는 것과 같다.

$T : V \to V$가 선형변환이고, $\dim(V) = n$이라고 하자. $T$가 서로 다른 $n$개의 고유값을 가지면, $T$는 대각화가능하다.

증명

수학적 귀납법으로 증명한다. $k=1$이라고 하자. 그러면 고유벡터의 정의에 의해 $\mathbf{v}_{1} \ne \mathbf{0}$이고, $\left\{ \mathbf{v}_{1} \right\}$는 선형독립이다.

이제 $k-1$개의 서로다른 고유값에 대해서 정리가 성립한다고 가정하자. 그리고 $a_{1}, \dots, a_{k}$들이 다음의 식을 만족하는 상수라고 하자.

$$ a_{1}\mathbf{v}_{1} + \cdots + a_{k}\mathbf{v}_{k} = \mathbf{0} $$

양변에 $T - \lambda_{k}I$를 취하면, $v_{i}$들이 고유벡터이므로,

$$ a_{1}(\lambda_{1} - \lambda_{k})\mathbf{v}_{1} + \cdots a_{k-1}(\lambda_{k-1} - \lambda_{k})\mathbf{v}_{k-1} = \mathbf{0} $$

그러면 가정에 의해 다음이 성립한다.

$$ a_{1}(\lambda_{1} - \lambda_{k}) = \cdots = a_{k-1}(\lambda_{k-1} - \lambda_{k}) = 0 $$

이때 $\lambda_{i}$들은 서로 다르다고 가정했으므로

$$ a_{1} = \cdots = a_{k-1} = 0 $$

따라서 $a_{k}\mathbf{v}_{k} = \mathbf{0}$인데 $\mathbf{v}_{k} \ne \mathbf{0}$이므로, $a_{k} = 0$이다. 따라서

$$ a_{1} = \cdots = a_{k} = 0 $$

이고, $\left\{ \mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{k} \right\}$는 선형독립이다.

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