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선형변환의 특성 다항식

개요

선형 변환의 특성 다항식을 정의한다. 아래의 정리로부터 식 $\det(A - \lambda I) = 0$을 푸는 것이 고유값을 찾는 것과 같다는 것을 알 수 있다. 따라서 $\det(A - \lambda I)$에 이름을 붙이는 것은 매우 자연스러우며, 이를 특성 다항식이라 한다.

정리¹

$F$를 임의의 체, $A \in M_{n\times n}(F)$라고 하자. $\lambda \in F$가 $A$의 고유값인 것은 $\det (A-\lambda I) = 0$인 것과 동치이다.

증명

$\lambda$를 $A$의 고유값이라 가정하자. 그러면,

$$ \begin{align*} \lambda \text{ is eigenvalue of } A &\iff \exist \text{non-zero } v \text{ such that } Av = \lambda v \\ &\iff \exist \text{non-zero } v \text{ such that } (A - \lambda I)v = 0 \end{align*} $$

가역행렬일 동치조건

$A$를 크기가 $n\times n$인 정사각행렬이라고 하자. 그러면 아래의 명제는 모두 동치이다.

• $A$는 가역행렬이다.
• 동차 선형 시스템 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$는 오직 자명해만을 갖는다.
• $\det{A} \ne 0$

가역행렬일 동치조건에 의해서 $A - \lambda I$는 가역행렬이 아니고, $\det (A - \lambda I) = 0$이다.

정의

$A \in M_{n \times n}(F)$라고 하자. 다항식 $f(t) = \det(A - tI)$를 $A$의 특성 다항식^{characteristic polynomial}이라 한다. $f(t) = 0$을 특성 방정식^{characteristic equation}이라 한다.

$V$를 $n$차원 벡터공간이라고 하자. $T : V \to V$를 선형변환이라고 하자. $\beta$를 $V$의 순서기저라고 하자. $T$의 특성 다항식 $f(t)$를 $T$의 행렬표현의 특성 다항식으로 정의한다. 다시말해 $f(t)$는 다음과 같다.

$$ f(t) = \det\left( \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta} - t I \right) $$

설명

정의에 의해 $T : V \to V$의 특성다항식의 근이 곧 고유값이며, 특성다항식이 분해되면 고유값이 분해되면 $T$는 $n = \dim(V)$개의 고유값을 갖는다.(서로 다르다는 말은 하지않았다)

정의대로면 $T$의 특성 다항식은 순서기저 $\beta$를 어떻게 선택하는지에 의존할 것 같지만 실제로는 그렇지 않다. 이러한 이유로 선형변환 $T$의 특성다항식을 다음과 같이 표기하기도 한다.

$$ \det (T - \lambda I) $$

확인해보자. $\beta$, $\beta^{\prime}$를 $V$의 순서기저, $Q$를 $\beta$-좌표를 $\beta^{\prime}$-좌표로 변환시키는 좌표변환행렬이라고 하면,

$$ \begin{align*} \det( \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta} - tI) &= \det( \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta} - tI ) \det Q^{-1} \det Q \\ &= \det Q^{-1} \det( \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta} - tI ) \det Q \\ &= \det \left( Q^{-1} (\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta} - tI) Q \right) \\ &= \det \left( Q^{-1}\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}Q - tI \right) \\ &= \det \left( \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}} - tI \right) \end{align*} $$