📂기하학

미분다양체 위의 미분가능한 벡터필드들의 집합

정의¹

$M$을 미분다양체라고 하자. $M$ 위의 모든 미분가능한 벡터필드들의 집합을 $\frak{X}(M)$이라 표기한다.

$$ \frak{X}(M) := \left\{ \text{all vector fileds of calss } C^{\infty} \text{ on } M \right\} $$

설명

$\frak{X}(M)$은 환 $\mathcal{D}(M)$에 대해서, $\mathcal{D}(M)$-모듈이다. 다시말해 미분가능한 함수 $f \in \mathcal{D}(M)$와 벡터필드 $X \in \frak{X}(M)$에 대해서, $fX$가 (점별^pointwise로) 잘 정의된다.

$$ \begin{align*} (X + Y)(p) &= X(p) + Y(p) \\ fX(p) &= f(p)X(p) \end{align*} \qquad \forall X, Y \in \frak{X}(M),\quad \forall f \in \mathcal{D}(M) $$

$X(p)$와 $Y(p)$는 벡터공간 $T_{p}M$의 원소이므로 합이 잘 정의된다. $f(p) \in \mathbb{R}$이고, $X(p) \in T_{p}M$이므로 이 둘의 곱도 잘 정의된다.

또한 벡터필드는 그 자체로 미분연산자이기 때문에 다음과 같이 곱의 미분이 성립한다. $X, Y \in \frak{X}(M), f \in \mathcal{D}(M)$에 대해,

$$ X(fY) = X(f)Y + fXY $$

직접 계산으로 쉽게 보일 수 있다. $X = a_{i}\dfrac{\partial }{\partial x}_{i}$, $Y = b_{j}\dfrac{\partial }{\partial x}_{j}$라고 하면,

$$ \begin{align*} X(fY) &= a_{i}\dfrac{\partial }{\partial x_{i}}\left( fb_{j}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \right) \\ &= a_{i}\dfrac{\partial }{\partial x_{i}}\left( fb_{j}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \right) \\ &= a_{i}\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}} b_{j}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + a_{i}f\dfrac{\partial b_{j}}{\partial x_{i}}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + a_{i}f b_{j}\dfrac{\partial^{2} }{\partial x_{i}\partial x_{j}}\\ &= a_{i}\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}} b_{j}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + f\left( a_{i}\dfrac{\partial b_{j}}{\partial x_{i}}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + a_{i} b_{j}\dfrac{\partial^{2} }{\partial x_{i}\partial x_{j}} \right)\\ &= X(f)Y + fXY \end{align*} $$

같이보기

• 벡터 필드 $X : M \to TM$
• 미분다양체 위에서 미분가능한 함수들의 집합 $\mathcal{D}(M)$