📂선형대수

대각화가능한 선형변환

정의 ¹

$V$를 유한차원 벡터공간이라 하자. $T : V \to V$를 선형변환이라 하자. $T$의 행렬표현 $\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}$가 대각행렬이 되게하는 순서기저 $\beta$가 존재하면, $T$를 대각화가능^{diagonalizeable}하다고 한다.

정사각행렬 $A$에 대해서, $L_{A}$가 대각화가능하면 행렬 $A$가 대각화가능하다고 한다.

설명

선형변환 $T : V \to V$가 대각화가능하다고 하자. $\beta = \left\{ v_{1}, \dots, v_{n} \right\}$을 $V$의 순서기저라고 하자. 그리고 $D = \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}$가 대각행렬이라고 하자. 그러면 각각의 $v_{j} \in \beta$에 대해서 다음을 얻는다.

$$T(v_{j}) = \sum_{i} D_{ij} v_{i} = D_{jj}v_{j}$$

이때 $\lambda_{j} = D_{jj}$라고 하면,

$$T(v_{j}) = \lambda_{j} v_{j}$$

$\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}$가 대각행렬이 되게하는 순서기저의 원소들은 위와 같은 특별한 방정식의 꼴을 만족하게 된다. 따라서 이러한 순서기저 $\beta$로 표현되는 벡터는 그저 각 성분에 대해서 $\lambda_{j}$를 곱해주기만하면, 선형변환 $T$를 취한 것과 같다. 이러한 특별한 벡터 $v_{j}$와 스칼라 $\lambda_{j}$를 우리는 고유벡터와 고유값이라 부른다. 따라서 대각화가능한 조건을 고유값과 연관지으면,

$n$개의 선형독립인 고유벡터가 존재 = 고유벡터들로 이루어진 기저가 존재 $\iff$ 대각화 가능