미분다양체 위에서 정의되는 텐서
📂기하학 미분다양체 위에서 정의되는 텐서 정의 M M M n n n 미분다양체 , D ( M ) \mathcal{D}(M) D ( M ) M M M X ( M ) \mathfrak{X}(M) X ( M ) M M M 벡터필드 들의 집합이라고 하자.
D ( M ) : = { all real-valued functions of class C ∞ defined on M }
\mathcal{D}(M) := \left\{ \text{all real-valued functions of class } C^{\infty} \text{ defined on } M \right\}
D ( M ) := { all real-valued functions of class C ∞ defined on M }
X ( M ) : = { all vector fileds of calss C ∞ on M }
\frak{X}(M) := \left\{ \text{all vector fileds of calss } C^{\infty} \text{ on } M \right\}
X ( M ) := { all vector fileds of calss C ∞ on M }
아래와 같은 다중선형 함수 T T T M M M r r r tensor of order r r r M M M 라고 한다.
T : X ( M ) × ⋯ × X ( M ) ⏞ r → D ( M )
T : \overbrace{\frak{X}(M) \times \cdots \times \frak{X}(M)}^{r} \to \mathcal{D}(M)
T : X ( M ) × ⋯ × X ( M ) r → D ( M )
설명 X ( M ) \frak{X}(M) X ( M ) D ( M ) \mathcal{D}(M) D ( M ) 모듈 이 된다. 정의에 의해서 다음이 성립한다. 모든 X , Y ∈ X ( M ) , f , g ∈ D ( M ) X, Y \in \frak{X}(M),\ f,g\in \mathcal{D}(M) X , Y ∈ X ( M ) , f , g ∈ D ( M )
T ( Y 1 , … , f X + g Y , … , Y r ) = f T ( Y 1 , … , X , … , Y r ) + g T ( Y 1 , … , Y , … , Y r )
T(Y_{1}, \dots, fX + gY, \dots, Y_{r}) = fT(Y_{1}, \dots, X, \dots, Y_{r}) + gT(Y_{1}, \dots, Y, \dots, Y_{r})
T ( Y 1 , … , f X + g Y , … , Y r ) = f T ( Y 1 , … , X , … , Y r ) + g T ( Y 1 , … , Y , … , Y r )
텐서의 특징은 좌표계 에 의존하지 않고, 각 점에서의 값에만 의존한다는 것이다. 이를 설명하기 위해 점 p ∈ M p \in M p ∈ M U U U p p p { E i ( p ) } \left\{ E_{i}(p) \right\} { E i ( p ) } 탄젠트공간 T p M T_{p}M T p M E i , … , E n ∈ X ( M ) E_{i}, \dots, E_{n} \in \frak{X}(M) E i , … , E n ∈ X ( M ) { E i } \left\{ E_{i} \right\} { E i } U U U 무빙 프레임 moving frame, 움직이는 틀 이라 한다. 이제 벡터필드 Y i Y_{i} Y i U U U 축소사상 을 무빙 프레임 { E i } \left\{ E_{i} \right\} { E i }
Y 1 = ∑ i 1 y i 1 E i 1 , … , Y r = ∑ i r y i r E i r
Y_{1} = \sum_{i_{1}}y_{i_{1}}E_{i_{1}},\quad \dots,\quad Y_{r} = \sum_{i_{r}}y_{i_{r}}E_{i_{r}}
Y 1 = i 1 ∑ y i 1 E i 1 , … , Y r = i r ∑ y i r E i r
그리고 Y i Y_{i} Y i p p p ‘값만’ 같은 다른 벡터필드 { Z j = ∑ z k j E k j } ⊂ X ( M ) \left\{ Z_{j} = \sum z_{k_{j}}E_{k_{j}} \right\} \subset \frak{X}(M) { Z j = ∑ z k j E k j } ⊂ X ( M )
Z j ( p ) = Y j ( p ) ⟹ z k j ( p ) E k j ( p ) = y k j ( p ) E k j ( p ) ⟹ z k j ( p ) = y k j
\begin{align*}
&& Z_{j}(p) &= Y_{j}(p) \\
\implies && z_{k_{j}}(p)E_{k_{j}}(p) &= y_{k_{j}}(p)E_{k_{j}}(p) \\
\implies && z_{k_{j}}(p) &= y_{k_{j}}
\end{align*}
⟹ ⟹ Z j ( p ) z k j ( p ) E k j ( p ) z k j ( p ) = Y j ( p ) = y k j ( p ) E k j ( p ) = y k j
그러면 다음을 얻는다.
T ( Y 1 , Y 2 , … , Y n ) ( p ) = y i 1 ( p ) ⋯ y i r ( p ) T ( E i 1 ( p ) , … , E i r ( p ) ) = z i 1 ( p ) ⋯ z i r ( p ) T ( E i 1 ( p ) , … , E i r ( p ) ) = T ( Z 1 , Z 2 , … , Z n ) ( p )
\begin{align*}
T(Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n})(p)
&= y_{i_{1}}(p)\cdots y_{i_{r}}(p) T(E_{i_{1}}(p), \dots, E_{i_{r}}(p)) \\
&= z_{i_{1}}(p)\cdots z_{i_{r}}(p) T(E_{i_{1}}(p), \dots, E_{i_{r}}(p)) \\
&= T(Z_{1}, Z_{2}, \dots, Z_{n})(p)
\end{align*}
T ( Y 1 , Y 2 , … , Y n ) ( p ) = y i 1 ( p ) ⋯ y i r ( p ) T ( E i 1 ( p ) , … , E i r ( p )) = z i 1 ( p ) ⋯ z i r ( p ) T ( E i 1 ( p ) , … , E i r ( p )) = T ( Z 1 , Z 2 , … , Z n ) ( p )
따라서 T ( Y 1 , Y 2 , … , Y n ) ( p ) T(Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n})(p) T ( Y 1 , Y 2 , … , Y n ) ( p ) Y i Y_{i} Y i p p p 좌표계 에는 의존하지 않는다.
예 곡률 텐서 다음과 같이 정의되는 리만 곡률 R R R 은 4 4 4
R : X ( M ) × X ( M ) × X ( M ) × X ( M ) → D ( M )
R : \frak{X}(M) \times \frak{X}(M) \times \frak{X}(M) \times \frak{X}(M) \to \mathcal{D}(M)
R : X ( M ) × X ( M ) × X ( M ) × X ( M ) → D ( M )
R ( X , Y , Z , W ) = ⟨ R ( X , Y ) Z , W ⟩ , X , Y , Z , W ∈ X ( M )
R(X, Y, Z, W) = \left\langle R(X, Y)Z, W \right\rangle, \quad X, Y, Z, W \in \frak{X}(M)
R ( X , Y , Z , W ) = ⟨ R ( X , Y ) Z , W ⟩ , X , Y , Z , W ∈ X ( M )
무빙 프레임 { X i = ∂ ∂ x i } \left\{ X_{i} = \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right\} { X i = ∂ x i ∂ }
R ( X i , X j , X k , X l ) = R i j k l
R(X_{i}, X_{j}, X_{k}, X_{l}) = R_{ijkl}
R ( X i , X j , X k , X l ) = R ijk l
메트릭 텐서 g : X ( M ) × X ( M ) → D ( M )
g : \frak{X}(M) \times \frak{X}(M) \to \mathcal{D}(M)
g : X ( M ) × X ( M ) → D ( M )
g ( X , Y ) = ⟨ X , Y ⟩ , X , Y ∈ X ( M )
g(X, Y) = \left\langle X, Y \right\rangle, \quad X, Y \in \frak{X}(M)
g ( X , Y ) = ⟨ X , Y ⟩ , X , Y ∈ X ( M )
리만메트릭 g g g 2 2 2
접속 ∇ : X ( M ) × X ( M ) × X ( M ) → D ( M )
\nabla : \frak{X}(M) \times \frak{X}(M) \times \frak{X}(M) \to \mathcal{D}(M)
∇ : X ( M ) × X ( M ) × X ( M ) → D ( M )
∇ ( X , Y , Z ) = ⟨ ∇ X Y , Z ⟩ , X , Y , Z ∈ X ( M )
\nabla(X, Y, Z) = \left\langle \nabla_{X}Y, Z \right\rangle, \quad X, Y, Z \in \frak{X}(M)
∇ ( X , Y , Z ) = ⟨ ∇ X Y , Z ⟩ , X , Y , Z ∈ X ( M )
위와 같이 같이 정의되는 레비-치비타 접속 ∇ \nabla ∇ Y Y Y
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