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선형변환의 기저변환(좌표변환) 📂선형대수

선형변환의 기저변환(좌표변환)

개요1

VV를 nn차원 벡터공간, v∈V\mathbf{v} \in V라고 하자. β,β′\beta, \beta^{\prime}를 VV의 순서기저라고 하자. 그러면 v\mathbf{v}의 두 좌표 [v]β[\mathbf{v}]_{\beta}, [v]β′[\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}}는 좌표변환행렬 QQ에 의해 다음과 같이 변환된다.

[v]β=Q[v]β′ [\mathbf{v}]_{\beta} = Q [\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}}

이제 선형변환 T:V→VT : V \to V가 주어졌다고 하자. 그러면 각각의 순서기저에 대해서 행렬표현 [T]β\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}, [T]β′\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}가 존재한다. VV의 벡터 v\mathbf{v}의 좌표가 QQ에 의해서 변환되는 것처럼 이 두 행렬도 QQ에 의해 변환된다.

정리

β,β′\beta, \beta^{\prime}를 nn 차원 벡터공간 VV의 순서기저, T:V→VT : V \to V를 선형변환이라고 하자. Q=[I]β′βQ = \begin{bmatrix} I \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}^{\beta}를 β′\beta^{\prime}-좌표를 β\beta-좌표로 변환하는 좌표변환행렬이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

[T]β′=Q−1[T]βQ \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}} = Q^{-1} \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta} Q

설명

이러한 관계의 두 행렬 [T]β′\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}, [T]\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}을 서로 닮았다고 한다.

증명

보조정리

V,W,ZV, W, Z를 유한차원 벡터공간, α,β,γ\alpha, \beta, \gamma를 각각의 순서기저라고 하자. 그리고 T:V→WT : V \to W, U:W→ZU : W \to Z를 선형변환이라고 하자. 그러면

[UT]αγ=[U]βγ[T]αβ [UT]_{\alpha}^{\gamma} = [U]_{\beta}^{\gamma}[T]_{\alpha}^{\beta}

보조정리에 의해,

Q[T]β′=[I]β′β[T]β′β′=[IT]β′β=[TI]β′β=[T]ββ[I]β′β=[T]βQ Q\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}} = \begin{bmatrix} I \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}^{\beta}\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}^{\beta^{\prime}} = \begin{bmatrix} IT \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}^{\beta} = \begin{bmatrix} TI \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}^{\beta} = \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}^{\beta} \begin{bmatrix} I \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}^{\beta} = \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}Q

[QQ는 가역]이므로

[T]β′=Q−1[T]βQ \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}} = Q^{-1} \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta} Q

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  1. Stephen H. Friedberg, Linear Algebra (4th Edition, 2002), p112-113 ↩︎