📂기하학

공변도함수와 리만곡률의 관계

정리¹

$f : A \subset \mathbb{R}^{2} \to M$을 매개변수화된곡면이라고 하자. $(s, t)$를 $\mathbb{R}^{2}$의 표준 좌표라고 하자. $V = V(s,t)$를 $f$를 따르는 벡터필드라고 하자. 각각의 점 $(s, t)$에서 다음이 성립한다.

$$ \dfrac{D }{\partial t} \dfrac{D }{\partial s}V - \dfrac{D }{\partial s} \dfrac{D }{\partial t}V = R(\dfrac{\partial f}{\partial s}, \dfrac{\partial f}{\partial t})V $$

설명

• 아인슈타인 표기법이 사용된다.

증명

미분다양체다양체 $M$ 위의 점 $p$에서의 좌표계 $(U, \mathbf{x})$를 하나 택하자. 탄젠트공간 $T_{p}M$의 기저를 $\left\{ X_{i} = \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right\}$라고 하자. 그리고 $V = \sum_{i}v^{i}X_{i}, v^{i} = v^{i}(s, t)$라고 하자. 그러면 공변도함수의 성질에 의해,

$$ \dfrac{D }{\partial s}V = \dfrac{D }{\partial s}(\sum_{i} v^{i}X_{i}) = \sum_{i}v^{i}\dfrac{D }{\partial s}X_{i} + \sum_{i} \dfrac{\partial v^{i}}{\partial s}X_{i} $$

여기에 다시 $\dfrac{D }{\partial t}$를 취하면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \dfrac{D }{\partial t}\left( \dfrac{D }{\partial s}V \right) &= \dfrac{D }{\partial t}\left( \sum_{i}v^{i}\dfrac{D }{\partial s}X_{i} + \sum_{i} \dfrac{\partial v^{i}}{\partial s}X_{i} \right) \\ &= \sum_{i}v^{i}\dfrac{D }{\partial t}\dfrac{D }{\partial s}X_{i} + \sum_{i}\dfrac{\partial v^{i}}{\partial t}\dfrac{D }{\partial s}X_{i} + \sum_{i} \dfrac{\partial v^{i}}{\partial s}\dfrac{D }{\partial t}X_{i} + \sum_{i} \dfrac{\partial^{2} v^{i}}{\partial t\partial s}X_{i} \end{align*} $$

같은 방식으로 $\dfrac{D }{\partial s}\left( \dfrac{D }{\partial t}V \right)$를 계산해서 서로 빼면 위의 식에서 뒤의 세 항은 서로 상쇄됨을 알 수 있다. 따라서,

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \dfrac{D }{\partial t} \dfrac{D }{\partial s}V - \dfrac{D }{\partial s} \dfrac{D }{\partial t}V &= \sum_{i}\left( v^{i}\dfrac{D }{\partial t}\dfrac{D }{\partial s}X_{i} - v^{i}\dfrac{D }{\partial s}\dfrac{D }{\partial t}X_{i} \right) \\ &= \sum_{i}v^{i}\left( \dfrac{D }{\partial t}\dfrac{D }{\partial s}X_{i} - \dfrac{D }{\partial s}\dfrac{D }{\partial t}X_{i} \right) \end{aligned} \label{1} \end{equation} $$

이제 $p = f(s,t) = \mathbf{x}(x_{1}(s,t), \dots, x_{n}(s,t))$라고 하자. $\dfrac{\partial f}{\partial s}$를 계산해보면,

$$ \begin{align*} \dfrac{\partial f}{\partial s} &:= df(\dfrac{\partial }{\partial s}) \\ &= \begin{bmatrix} \dfrac{\partial x_{1}}{\partial s} & \dfrac{\partial x_{1}}{\partial t} \\ \vdots & \vdots \\ \dfrac{\partial x_{n}}{\partial s} & \dfrac{\partial x_{n}}{\partial t}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial x_{1}}{\partial s} \\ \vdots \\ \dfrac{\partial x_{n}}{\partial s} \end{bmatrix} = \dfrac{\partial x_{j}}{\partial s}X_{j} \end{align*} $$

마찬가지로 $\dfrac{\partial f}{\partial t} = \dfrac{\partial x_{k}}{\partial t}X_{k}$이다. 이제 $\dfrac{D }{\partial t}\dfrac{D }{\partial s}X_{i}$를 계산하면,

$$ \dfrac{D }{\partial s}X_{i} = \nabla_{\partial f/\partial s}X_{i} = \nabla_{(\partial x_{j}/\partial s)X_{j}}X_{i} = \dfrac{\partial x_{j}}{\partial s}\nabla_{X_{j}}X_{i} $$

그리고

$$ \begin{align*} \dfrac{D }{\partial t}\dfrac{D }{\partial s}X_{i} &= \dfrac{D }{\partial t}\left( \dfrac{\partial x_{j}}{\partial s}\nabla_{X_{j}}X_{i} \right) \\ &= \dfrac{\partial^{2} x_{j}}{\partial t\partial s}\nabla_{X_{j}}X_{i} + \dfrac{\partial x_{j}}{\partial s}\nabla_{\partial f / \partial t}(\nabla_{X_{j}}X_{i}) \\ &= \dfrac{\partial^{2} x_{j}}{\partial t\partial s}\nabla_{X_{j}}X_{i} + \dfrac{\partial x_{j}}{\partial s}\nabla_{(\partial x_{k} / \partial t})X_{k}(\nabla_{X_{j}}X_{i}) \\ &= \dfrac{\partial^{2} x_{j}}{\partial t\partial s}\nabla_{X_{j}}X_{i} + \dfrac{\partial x_{j}}{\partial s}\dfrac{\partial x_{k}}{\partial t}\nabla_{X_{k}}\nabla_{X_{j}}X_{i} \end{align*} $$

따라서 다음을 얻는다.

$$ \dfrac{D }{\partial t}\dfrac{D }{\partial s}X_{i} - \dfrac{D }{\partial s}\dfrac{D }{\partial t}X_{i} = \dfrac{\partial x_{j}}{\partial s}\dfrac{\partial x_{k}}{\partial t}\left( \nabla_{X_{k}}\nabla_{X_{j}}X_{i} - \nabla_{X_{j}}\nabla_{X_{k}}X_{i}\right) $$

그런데 $[X_{i}, X_{j}]=0$이므로, 리만곡률은

$$ R(X_{j}, X_{k})X_{i} = \nabla_{X_{k}}\nabla_{X_{j}}X_{i} - \nabla_{X_{j}}\nabla_{X_{k}}X_{i} + \nabla_{[X_{j}, X_{k}]}X_{i} = \nabla_{X_{k}}\nabla_{X_{j}}X_{i} - \nabla_{X_{j}}\nabla_{X_{k}}X_{i} $$

이고 위 식은,

$$ \dfrac{D }{\partial t}\dfrac{D }{\partial s}X_{i} - \dfrac{D }{\partial s}\dfrac{D }{\partial t}X_{i} = \dfrac{\partial x_{j}}{\partial s}\dfrac{\partial x_{k}}{\partial t}R(X_{j}, X_{k})X_{i} $$

이를 $\eqref{1}$에 대입하면, $R$이 선형이므로,

$$ \begin{align*} \dfrac{D }{\partial t} \dfrac{D }{\partial s}V - \dfrac{D }{\partial s} \dfrac{D }{\partial t}V &= \sum_{i}v^{i}\left( \dfrac{D }{\partial t}\dfrac{D }{\partial s}X_{i} - \dfrac{D }{\partial s}\dfrac{D }{\partial t}X_{i} \right) \\ &= \sum_{i}v^{i}\dfrac{\partial x_{j}}{\partial s}\dfrac{\partial x_{k}}{\partial t}R(X_{j}, X_{k})X_{i} \\ &= \sum_{i}R(\dfrac{\partial x_{j}}{\partial s}X_{j}, \dfrac{\partial x_{k}}{\partial t}X_{k})v^{i}X_{i} \\ &= \sum_{i}R(\dfrac{\partial f}{\partial s}, \dfrac{\partial f}{\partial t})V \end{align*} $$

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