📂표현론

리 군 (Lie group)

정의¹

군 $\braket{G, \cdot}$가 다음과 같은 조건을 만족할 때, 이를 리 군^{Lie group}이라 한다.

1. 미분가능한 구조를 갖는다.

2. $G$의 곱셈 $\cdot : G \times G \to G$가 미분가능하다.

3. 역원으로의 사상 $i : x \mapsto x^{-1}$가 미분가능하다.

설명

• '미분가능한 구조'라는 개념이 어렵다면, $\mathbb{R}^{n}$의 열린 부분집합이라 받아들여도 무방하다.

쉽게 말해서 리 군이란 미분가능한 군으로, 어떤 집합 $G$가 군이면서 동시에 미분다양체이면 리 군이다. 군의 구조가 다양체의 구조와 잘 맞아떨어져서 군 연산이 매끄럽게 작동하는 경우이다.

정의에서 미분에 대한 조건들이 연속로 바뀌면 위상군이 된다.

$$ \text{Lie group} \implies \text{topological group} $$

위상군:

군 $\braket{G, \cdot}$가 다음을 만족하면 위상군이라 한다.

1. 위상이 정의된다. 즉 위상공간이다.
2. $G$의 곱셈 $\cdot : (x, y) \mapsto x \cdot y$가 연속이다.
3. 역원으로의 사상 $i : g \mapsto g^{-1}$가 연속이다.

미분가능한 구조라는 것은 유클리드공간 에서 $G$로가는 어떤 일대일 함수, 특히나 열린집합 $U_{i} \subset \mathbb{R}^{n}$로부터 $G$로의 사상을 말한다.

$$ f_{i} : U_{i} \to G $$

적당한 $f_{i}$와 $f_{j}$에 대해서 $f_{i}^{-1} \circ f_{j}$는 $\mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$이므로 미분가능성을 논할 수 있고, 이러한 $f_{i}^{-1} \circ f_{j}$가 미분가능하면 $G$가 미분가능한 구조를 갖는다고 말한다. 한편 $f_{i}$가 열린집합을 $G$로 대응시킨다는 건, $G$를 국소적으로 봤을 때 유클리드 공간과 같다는 의미이다.

위 정의의 조건 2.와 3.은 아래와 같이 하나의 조건으로 통합할 수 있다.

군 $\braket{G, \cdot}$가 다음과 같은 조건을 만족할 때, 이를 리 군이라 한다.

1. 미분가능한 구조를 갖는다.

2.1. 사상 $(x, y) \mapsto xy^{-1}$가 미분가능하다.

편의를 위해 $G$의 곱셈을 $m : (x,y) \mapsto xy$, 조건 2.1의 사상을 $\alpha : (x,y) \mapsto xy^{-1}$로 표기하자.

$$ \text{$m$ and $i$ is differentiable} \iff \text{$\alpha$ is differentiable} $$

증명

$(\implies)$

$m$과 $i$가 미분가능하다고 하자. $\alpha$는 $m$과 $i$의 합성으로 표현할 수 있다.

$$ \alpha(x,y) = m(x, i(y)) $$

$m$과 $i$가 미분가능하다고 가정했으므로, 합성인 $\alpha$도 미분가능하다.

$(\impliedby)$

$\alpha$가 미분가능하다고 하자. $e$를 $G$의 항등원이라 하면, $\alpha(e, x) = ex^{-1} = x$이다. 이는 곧 $i(x) = \alpha(e, x)$이므로 $i$는 미분가능하다.

또한 $m(x,y) = xy = \alpha(x, y^{-1})$이므로 $m$도 미분가능하다.

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예시

• 유클리드 공간 $(\mathbb{R}, +)$

  1. 유클리드 공간은 미분가능한 구조를 갖는다.

  2. $\alpha : (x,y) \mapsto x-y$는 다항식이므로 미분가능하다.

• 일반선형군 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$

• 특수선형군 $\operatorname{SL}(n, \mathbb{R})$

• 직교군 $\operatorname{O}(n)$

• 특수직교군 $\operatorname{SO}(n)$