📂기하학

미분다양체의 스칼라 곡률

정의¹

리즈표현정리

$\left( H, \left\langle \cdot,\cdot \right\rangle \right)$가 내적 공간 이라고 하자. $H$의 선형 범함수 $f \in H^{ \ast }$와 $\mathbf{x} \in H$ 에 대해 $f ( \mathbf{x} ) = \left\langle \mathbf{w} , \mathbf{x} \right\rangle$를 만족하는 $\mathbf{w} \in H$ 가 유일하게 존재한다.

$M$을 미분다양체라고 하자. $T_{p}M$을 점 $p\in M$에서의 탄젠트 공간이라고 하자. 이제 고정된 $X \in T_{p}M$에 대해서 $T_{p}M$의 선형범함수 $\Ric(X, \cdot)$를 생각하자. 이때 $\Ric$는 리치 곡률이다. 그러면 리즈표현정리에 의해, $Y$와 $\Ric$에 대해서 다음을 만족하는 $Z$가 유일하게 존재한다.

$$\Ric (X, Y) = g\left( Z, Y \right)$$

이제 이러한 $X, Z$에 대해서 $K : T_{p} \to T_{p}M$을 다음과 같이 정의하자.

$$K(X) = Z$$

그러면

$$\Ric (X, Y) = g\left( K(X), Y \right)$$

이고 점 $p$에서의 스칼라 곡률^{scalar curvature} $K : M \to \mathbb{R} \text{ by } K(p) = K_{p}$를 다음과 같이 정의한다.

$$K_{p} = \text{Trace of } K$$

설명

$\left\{ X_{i} = \dfrac{\partial }{\partial x_{i}}\right\}$를 $T_{p}M$의 기저라고 하자. 그러면 트레이스의 내적 표현에 의해,

$$K_{p} = \tr(K) = g(K(X_{i}), X_{j})g^{ij} = \Ric (X_{i}, X_{j}) g^{ij} = R_{ikj}^{k}g^{ij}$$

이때 $R_{ikj}^{k} = R_{ikj}^{s}\delta_{s}^{k} = R_{ikj}^{s}g_{sl}g^{lk} = R_{ikjl}g^{lk}$이므로,

$$K_{p} = R_{ikj}^{k}g^{ij} = R_{ikjl}g^{lk}g^{ij}$$

따라서 리치곡률이 리만곡률의 두번째, 네번째 성분에 대한 평균인 것처럼, 스칼라곡률은 리만곡률의 모든 성분에 대한 평균이다. 특히 $\left\{ Z_{i} \right\}$들을 $T_{p}M$의 정규직교기저라고하면, $g^{ij} = \delta_{ij}$이므로

$$K_{p} = \Ric(Z_{i}, Z_{j})\delta_{ij} = \Ric(Z_{i}, Z_{i}) = R(Z_{i}, Z_{j}, Z_{i}, Z_{j})$$

가 성립하고 이는 단면곡률 $K(Z_{i}, Z_{j})$의 평균과 같다.