부분공간의 기저로부터 확장된 기저에 대한 선형변환의 행렬표현
정리
$W \le V$를 $n$차원 벡터공간 $V$의 부분공간이라고 하자. $\gamma = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \dots ,\mathbf{v}_{k} \right\}$를 $W$의 순서기저라고 하자. $\beta = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{k}, \mathbf{v}_{k+1}, \dots \mathbf{v}_{n} \right\}$를 $\gamma$로부터 확장된 $V$의 기저라고 하자. $T : V \to V$를 선형변환이라고 하자. 그러면 $\beta$에 대한 $T$의 행렬표현은 다음과 같은 블록행렬이다.
$$ \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta} = \begin{bmatrix} A_{1} & A_{2} \\ O & A_{3} \end{bmatrix} $$
이때 $A_{1} = \begin{bmatrix} T|_{W} \end{bmatrix}_{\gamma}$이고, $T|_{W} : W \to W$는 축소사상, $A_{2}$는 $k \times n-k$ 행렬, $A_{3}$는 $n-k \times n-k$행렬, $O$는 $n-k \times k$ 영행렬이다.
증명
$T|_{W} : W \to W$를 축소사상이라고 하자. $\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta} = [t_{ij}]$라고 하자.
$$ \begin{align*} \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta} = \begin{bmatrix} t_{11} & t_{12} & \cdots & t_{1n} \\ t_{21} & t_{22} & \cdots & t_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ t_{n1} & t_{n2} & \cdots & t_{nn} \end{bmatrix} \end{align*} $$
행렬표현을 찾기 위해서는 기저의 원소가 어떻게 매핑되는지를 알면 된다. 다시말해 $\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}$의 첫번째 열의 성분 $t_{i1}$은 $T\mathbf{v}_{1}$를 $\beta$의 선형결합으로 나타냈을 때 $\mathbf{v}_{i}$의 계수와 같다. 그런데 $T \mathbf{v}_{1} = T|_{W}\mathbf{v}_{1}$이므로,
$$ \sum_{i=1}^{n} a_{i1} \mathbf{v}_{i} = T\mathbf{v}_{1} = T|_{W}\mathbf{v}_{1} = \sum_{i=1}^{k} a_{i1} \mathbf{v}_{i} $$
따라서 $a_{k+1} = a_{k+2} = \cdots = a_{n} = 0$이다. 그러므로 $1\le i \le k$일 때 $t_{i1} = a_{i1}$이고, $k \gt i$일 때 $t_{i1} = 0$이다.
$$ \begin{align*} \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta} = \begin{bmatrix} a_{11} & t_{12} & \cdots & t_{1n} \\ a_{21} & t_{22} & \cdots & t_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{k1} & t_{k2} & \cdots & t_{kn} \\ 0 & t_{k+1,2} & \cdots & t_{k+1,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & t_{m2} & \cdots & t_{mn} \end{bmatrix} \end{align*} $$
같은 방법으로 $k$번째 열까지의 성분을 모두 구하면 다음과 같다.
$$ \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} & t_{1,k+1} & \cdots & t_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k} & t_{2,k+1} & \cdots & t_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kk} & t_{k,k+1} & \cdots & t_{kn} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & t_{k+1,k+1} & \cdots & t_{k+1,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & t_{m,k+1} & \cdots & t_{mn} \end{bmatrix} $$
이때 $A_{1} = [a_{ij}] = \begin{bmatrix} T|_{W} \end{bmatrix}_{\gamma}$이고, $A_{2} = \begin{bmatrix} t_{1,k+1} & \cdots & t_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ t_{k,k+1} & \cdots & t_{kn} \\ \end{bmatrix}$, $A_{3} = \begin{bmatrix} t_{k+11,k+1} & \cdots & t_{k+1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ t_{m,k+1} & \cdots & t_{mn} \\ \end{bmatrix}$이라 두면,
$$ \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta} = \begin{bmatrix} A_{1} & A_{2} \\ O & A_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} T|_{W} \end{bmatrix}_{\gamma} & A_{2} \\ O & A_{3} \end{bmatrix} $$
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