비앙키 항등식
📂기하학비앙키 항등식
정리
R을 리만 곡률이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.
R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y=0
증명
별다른 테크닉 없이 복잡하긴 해도 어렵지않은 계산으로 증명된다. 리만 곡률의 정의에 의해,
R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y=∇Y∇XZ−∇X∇YZ+∇[X,Y]Z+∇Z∇YX−∇Y∇ZX+∇[Y,Z]X+∇X∇ZY−∇Z∇XY+∇[Z,X]Y
이때 ∇는 리만 접속이라 대칭성을 가지므로 ∇XY−∇YX=[X,Y]가 성립한다. 따라서 정리하면,
==== R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y ∇Y[X,Z]+∇Z[Y,X]+∇X[Z,Y]+∇[X,Y]Z+∇[Y,Z]X+∇[Z,X]Y ∇Y[X,Z]+∇Z[Y,X]+∇X[Z,Y]−∇[Y,X]Z−∇[Z,Y]X−∇[X,Z]Y [Y,[X,Z]]+[Z,[Y,X]]+[X,[Z,Y]] 0
마지막 등호는 야코비 항등식에 의해 성립한다.
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