📂기하학

비앙키 항등식

정리¹

$R$을 리만 곡률이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$ R(X, Y) Z + R(Y, Z) X + R(Z, X) Y = 0 $$

증명

별다른 테크닉 없이 복잡하긴 해도 어렵지않은 계산으로 증명된다. 리만 곡률의 정의에 의해,

$$ \begin{align*} R(X, Y) Z + R(Y, Z) X + R(Z, X) Y &= \nabla_{Y} \nabla_{X} Z - \nabla_{X} \nabla_{Y} Z + \nabla_{[X,Y]}Z \\ &\quad + \nabla_{Z} \nabla_{Y} X - \nabla_{Y} \nabla_{Z} X + \nabla_{[Y,Z]}X \\ &\quad + \nabla_{X} \nabla_{Z} Y - \nabla_{Z} \nabla_{X} Y + \nabla_{[Z,X]}Y \end{align*} $$

이때 $\nabla$는 리만 접속이라 대칭성을 가지므로 $\nabla_{X}Y - \nabla_{Y}X = [X, Y]$가 성립한다. 따라서 정리하면,

$$ \begin{align*} &\ R(X, Y) Z + R(Y, Z) X + R(Z, X) Y \\ =&\ \nabla_{Y}[X, Z] + \nabla_{Z}[Y, X] + \nabla_{X}[Z, Y] + \nabla_{[X,Y]}Z + \nabla_{[Y,Z]}X + \nabla_{[Z,X]}Y \\ =&\ \nabla_{Y}[X, Z] + \nabla_{Z}[Y, X] + \nabla_{X}[Z, Y] - \nabla_{[Y,X]}Z - \nabla_{[Z,Y]}X - \nabla_{[X,Z]}Y \\ =&\ [Y, [X, Z]] + [Z, [Y, X]] + [X, [Z, Y]] \\ =&\ 0 \end{align*} $$

마지막 등호는 야코비 항등식에 의해 성립한다.

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