📂기하학

미분다양체의 곡률

정의¹

$M$을 리만 다양체, $\frak{X}(M)$을 $M$ 위의 모든 벡터필드들의 집합이라고 하자.

$$ \frak{X}(M) = \text{the set of all vector fileds of calss } C^{\infty} \text{ on } M $$

$M$의 곡률^curvature $R$은 $X, Y \in \frak{X}(M)$을 $R(X, Y) : \frak{X}(M) \to \frak{X}(M)$으로 대응하는 함수이다. 이때 $R(X, Y)$는 다음과 같이 주어진다.

$$ \begin{equation} R(X, Y) Z = \nabla_{Y} \nabla_{X} Z - \nabla_{X} \nabla_{Y} Z + \nabla_{[X,Y]}Z, \quad Z \in \frak{X}(M) \end{equation} $$

이러한 $R$을 리만 곡률^{Riemannian curvature} 혹은 리만 곡률 텐서^{Riemannian curvature tensor}라 한다.

$\nabla$는 $M$ 위의 레비-치비타 접속, $[ \cdot, \cdot]$는 리 브라켓이다.

설명

다시 말하자면, $R$은 두 벡터필드 $X, Y$를 $R(X, Y)$라는 함수로 대응하고, 다시 $R(X, Y)$는 벡터필드 $Z$를 $(1)$과 같이 대응시키는 함수이다. 따라서 사실은 다음과 같이 표기해도 문제는 없다.

$$ R : \frak{X}(M) \times \frak{X}(M) \times \frak{X}(M) \to \frak{X}(M) \\[1em] R(X,Y,Z) = \nabla_{Y} \nabla_{X} Z - \nabla_{X} \nabla_{Y} Z + \nabla_{[X,Y]}Z, \quad Z \in \frak{X}(M) $$

다만 $R(X,Y,Z)$의 값을 보면 알 수 있듯이 이는 $Z$로 깔끔하게 묶인다. 또한 $X, Y$는 미분해주는 변수로 쓰이고 $Z$는 미분당하는 변수로 쓰이기 때문에 이러한 역할을 구분하기 위해서 관습적으로 $R(X, Y) Z$와 같이 표기한다.

또한 정의 $(1)$에서 교재마다 부호의 차이가 있을 수 있지만 본질적으로는 같다.

중복으로 사용되는 표기법

리만곡률텐서 $R$에 대해서, $R: \frak{X}(M) \times \frak{X}(M) \times \frak{X}(M) \times \frak{X}(M) \to \mathcal{D}(M)$을 다음과 같이 정의한다.

$$ R(X, Y, Z, W) := g(R(X, Y)Z, W) = \left\langle R(X, Y)Z, W \right\rangle $$

이를 리만곡률텐서라고 한다. 정의에서 소개한 것도 리만곡률텐서 $R$이고 이것도 리만곡률텐서 $R$이다. 이렇게 중복으로 쓰는 이유는 이 둘이 메트릭을 곱해준 차이밖에 나지 않는, 사실상 같은 것이기 때문이다.

좌표계 표현

$T_{p}M$의 기저를 $\left\{ X_{i} \right\}$라고 하자. $R(X_{i},X_{j})X_{k}$를 다음과 같이 표기한다.

$$ R(X_{i},X_{j})X_{k} = \sum_{s}R_{ijk}^{s}X_{s} $$

$R(X_{i}, X_{j}, X_{k}, X_{l})$는 다음과 같이 표기한다.

$$ R_{ijkl} = R(X_{i}, X_{j}, X_{k}, X_{l}) = g\left( R(X_{i}, X_{j})X_{k}, X_{l} \right) = \sum_{s}R_{ijk}^{s}g_{sl} $$

예: 유클리드 공간

$M = \mathbb{R}^{n}$이라고 하자. 유클리드 공간은 굽어있지 않은 평평한 공간이다. 따라서 우리는 $R(X,Y)Z = 0$이 나오길 기대한다. 반대로 이러한 결과가 나오지 않으면 정의 $(1)$이 가치있는 의미를 지니지 못한다고 말할 수 있다. $X, Z$를 다음과 같이 두자.

$$ X = (X^{1}, \dots, X^{n}) = \sum X^{i}\dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \text{ and } Z = (Z^{1}, \dots, Z^{n}) = \sum Z^{k}\dfrac{\partial }{\partial x_{k}} $$

$\nabla_{X}Z$는 다음과 같다.

$$ \nabla_{X}Z = \sum_{i,k} \left( X^{i}\dfrac{\partial Z^{k}}{\partial x_{i}} + \sum_{j}X^{i}Z^{j}\Gamma_{ij}^{k} \right) \dfrac{\partial }{\partial x_{k}} $$

이때 유클리드 공간에서는 $\Gamma_{ij}^{k} = 0$이므로 다음을 얻는다.

$$ \begin{align*} \nabla_{X} Z &= \sum_{i,k} X^{i} \left( \dfrac{\partial Z^{k}}{\partial x_{i}} \right) \dfrac{\partial }{\partial x_{k}} \\ &= \sum_{k} \left( \sum_{i} X^{i} \dfrac{\partial Z^{k}}{\partial x_{i}} \right) \dfrac{\partial }{\partial x_{k}} \\ &= \sum_{k} X Z^{k} \dfrac{\partial }{\partial x_{k}} \\ &= \left( XZ^{1}, \dots, XZ^{n} \right) \end{align*} $$

같은 방식으로 다음을 얻는다.

$$ \nabla_{Y} \nabla_{X} Z = \left( YXZ^{1}, \dots, YXZ^{n} \right) $$

따라서

$$ \begin{align*} R(X, Y) Z &= \nabla_{Y} \nabla_{X} Z - \nabla_{X} \nabla_{Y} Z + \nabla_{[X,Y]}Z \\ &= \left( YXZ^{1}, \dots, YXZ^{n} \right) - \left( XYZ^{1}, \dots, XYZ^{n} \right) \\ &\quad + \left( (XY-YX)Z^{1}, \dots, (XY-YX)Z^{n} \right) \\ &= 0 \end{align*} $$

■

성질

(a) $R$은 이중선형이다. 즉,

$$ \begin{align*} R(f X_{1} + gX_{2}, Y_{1}) &= fR(X_{1}, Y_{1}) + gR(X_{2}, Y_{1}) \\[1em] R(X_{1}, fY_{1} + gY_{2}) &= fR(X_{1}, Y_{1}) + gR(X_{1}, Y_{2}) \end{align*} $$

여기서 $f, g \in \mathcal{D}(M)$, $\quad X_{1}, X_{2}, Y_{1}, Y_{2} \in \frak{X}(M)$이다.

(b) 임의의 $X, Y \in \frak{X}(M)$에 대해서, $R(X, Y)$는 선형이다. 즉,

$$ \begin{align*} R(X, Y) (Z + W) &= R(X, Y) Z + R(X, Y) W \\[1em] R(X, Y) fZ &= f R(X, Y) Z \end{align*} $$

여기서 $f \in \mathcal{D}(M)$, $\quad Z, W \in \frak{X}(M)$이다.

증명

(b)

첫번째 성질은 접속의 정의에 의해 자명하다. 따라서 두번째 줄만 증명한다.

$$ R(X, Y) fZ = \nabla_{Y} \nabla_{X} fZ - \nabla_{X} \nabla_{Y} fZ + \nabla_{[X,Y]}fZ $$

우선 첫번째 항을 계산해보면 접속의 정의에 의해,

$$ \begin{align*} \nabla_{Y} \nabla_{X} (fZ) &= \nabla_{Y}(f\nabla_{X} Z + (Xf)Z) \\ &= \nabla_{Y}(f\nabla_{X}Z) + \nabla_{Y}((Xf)Z) \\ &= f\nabla_{Y}\nabla_{X}Z + (Yf)\nabla_{X}Z + (Xf)\nabla_{Y}(Z) + (Y(Xf))Z \end{align*} $$

이와 비슷하게 계산하면,

$$ \nabla_{X}\nabla_{Y}(fZ) = f\nabla_{X}\nabla_{Y}Z + (Xf)\nabla_{Y}Z + (Yf)\nabla_{X}(Z) + (X(Yf))Z $$

따라서 다음을 얻는다.

$$ \begin{align*} \nabla_{Y} \nabla_{X} (fZ) - \nabla_{X}\nabla_{Y}(fZ) &= {\color{blue}f\nabla_{Y}\nabla_{X}Z} + {\color{red}\cancel{\color{black}(Yf)\nabla_{X}Z}} + {\color{green}\cancel{\color{black}(Xf)\nabla_{Y}Z}} + YXfZ \\ &\quad - \left( {\color{blue}f\nabla_{X}\nabla_{Y}Z} + {\color{green}\cancel{\color{black}(Xf)\nabla_{Y}Z}} + {\color{red}\cancel{\color{black}(Yf)\nabla_{X}Z}} + XYfZ \right) \\ &= {\color{blue}f(\nabla_{Y}\nabla_{X}Z - \nabla_{X}\nabla_{Y}Z)} + YXfZ - XYfZ \\ &= f(\nabla_{Y}\nabla_{X}Z - \nabla_{X}\nabla_{Y}Z) - ([X,Y]f)Z \end{align*} $$

또한 $\nabla_{[X,Y]} fZ = f\nabla_{[X,Y]}Z + ([X,Y]f)Z$이므로, 마지막으로 계산하면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} R(X, Y) fZ &= \nabla_{Y} \nabla_{X} fZ - \nabla_{X} \nabla_{Y} fZ + \nabla_{[X,Y]} fZ \\ &= f(\nabla_{Y}\nabla_{X}Z - \nabla_{X}\nabla_{Y}Z) - ([X,Y]f)Z + f\nabla_{[X,Y]}Z + ([X,Y]f)Z \\ &= f(\nabla_{Y}\nabla_{X}Z - \nabla_{X}\nabla_{Y}Z) + f\nabla_{[X,Y]}Z \\ &= f(\nabla_{Y}\nabla_{X}Z - \nabla_{X}\nabla_{Y}Z + \nabla_{[X,Y]}Z) \\ &= fR(X, Y) Z \end{align*} $$

■