이항연산의 야코비 항등식
정의
집합 $S$와 이항연산 $\ast : S \times S \to S$, 교환가능한 이항연산 $+ : S \times S \to S$에 대해서, 다음과 같은 꼴의 식을 야코비 항등식Jacobi identity이라 한다.
$$ a \ast (b \ast c) + c \ast (a \ast b) + b \ast (c \ast a) = 0,\quad a,b,c \in S $$
위 식이 성립하면, $\ast$가 야코비 항등식을 만족한다고 한다.
설명
변수를 순환시켜 다 더했을 때 $0$이 되는 식을 말한다.
벡터곱(외적) $\times$은 야코비 항등식을 만족한다.
$$ \mathbf{x} \times (\mathbf{y} \times \mathbf{z}) + \mathbf{z} \times (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) + \mathbf{y} \times (\mathbf{z} \times \mathbf{x}) = 0 $$
환 $(R, + , \cdot)$에서 교환자 $[a, b] = ab - ba$는 야코비 항등식을 만족한다.
$$ \begin{align*} &a \ast (b \ast c) + c \ast (a \ast b) + b \ast (c \ast a) \\ &= a \ast (bc- cb) + c \ast (ab - ba) + b \ast (ca - ac) \\ &= (({\color{red}\cancel{\color{black}abc}} - {\color{blue}\cancel{\color{black}acb}}) - ({\color{green}\cancel{\color{black}bca}} - {\color{black}\cancel{\color{black}cba}})) + (({\color{magenta}\cancel{\color{black}cab}} - {\color{black}\cancel{\color{black}cba}}) - ({\color{red}\cancel{\color{black}abc}} - {\color{orange}\cancel{\color{black}bac}})) \\ & \quad + (({\color{green}\cancel{\color{black}bca}} - {\color{orange}\cancel{\color{black}bac}}) - ({\color{magenta}\cancel{\color{black}cab}} - {\color{blue}\cancel{\color{black}acb}})) \\ &= 0 \end{align*} $$
두 행렬 $A, B \in M_{n \times n}$의 교환자 $[A, B] = AB - BA$는 야코비 항등식을 만족한다.
벡터필드의 리 브라켓 $[X, Y] = XY - YX$는 야코비 항등식을 만족한다.