삼각 행렬
정의1
주대각선 위의 성분이 모두 $0$인 행렬 $A = [a_{ij}]$를 하삼각행렬lower triangular matrix이라 한다.
$$ A \text{ is lower triangluar matrix if } a_{ij} = 0 \text{ whenever } i \lt j $$
주 대각선 아래의 성분이 모두 $0$인 행렬 $A = [a_{ij}]$를 상삼각행렬upper triangular matrix이라 한다.
$$ A \text{ is upper triangluar matrix if } a_{ij} = 0 \text{ whenever } i \gt j $$
특히 주대각성분이 모두 $0$인 삼각행렬을 순(상/하)삼각행렬strictly (upper/lower) triangular matrix이라 한다.
설명
예를 들어 $A$가 $4 \times 5$이라고 하자. $A$가 하삼각행렬이면,
$$ A= \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 & 0 & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0 & 0 \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} & 0 \\ \end{bmatrix} $$
상삼각행렬이면 다음과 같다.
$$ A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\ 0 & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25} \\ 0 & 0 & a_{33} & a_{34} & a_{35} \\ 0 & 0 & 0 & a_{44} & a_{44} \\ \end{bmatrix} $$
정의에 의해 대각행렬은 하삼각행렬이면서 동시에 상삼각행렬이다. 또한 상삼각행렬은 주대각선을 기준으로 오른쪽에 $0$이 아닌 성분이 모여있어서 우삼각행렬right triangular matrix이라 부르기도 한다. 마찬가지의 이유로 하삼각행렬은 좌삼각행렬left triangular matrix이라고도 한다.
성질
하삼각행렬의 전치는 상삼각행렬이고, 상삼각행렬의 전치는 하삼각행렬이다.
하삼각행렬들의 곱은 하삼각행렬이고, 상삼각행렬들의 곱은 상삼각행렬이다.
삼각행렬이 가역이기 위한 필요충분조건은 모든 주대각성분이 $0$이 아닌 것이다.
가역인 하삼각행렬의 역은 하삼각행렬이고, 가역인 상삼각행렬의 역은 상삼각행렬이다.
정사각 순삼각행렬은 멱영이다.(역은 성립하지 않는다)
Stephen H. Friedberg, Linear Algebra (4th Edition, 2002), p21 ↩︎