📂기하학

매개변수화된 곡면

정의¹

• 열린집합 $U \subset \mathbb{R}^{2}$에 대해, 연결집합 $A\subset \mathbb{R}^{2}$가 다음을 만족한다고 하자.

  $$ U \subset A \subset \overline{U} \quad \text{and} \quad \partial A \text{ is piecewise differentiable} $$

  $s : A \to M$을 미분다양체 $M$ 안의 매개변수화된 곡면^{parameterized surface in $M$}이라 한다.

• $s$를 따른 벡터필드 $V$^{vector field $V$ along $s$}란, 각각의 $q \in A$를 $V(q) \in T_{s(q)}M$으로 매핑하며 다음의 센스로 미분가능한 함수이다:

  만약 $f$가 $M$ 위에서 미분가능한 함수이면, 함수 $q \in A \mapsto V(q)f \in \mathbb{R}$도 미분가능하다.

설명

$(u, v)$를 $\mathbb{R}^{2}$ 위의 데카르트 좌표라고 하자. 고정된 $v_{0}$에 대해서, 함수 $u \mapsto s(u,v_{0})$는 $M$ 위의 곡선이다. $\mathbb{R}^{2}$ 위의 탄젠트 공간의 표준 기저를 생각하면 $\left\{ \frac{\partial }{\partial u}, \frac{\partial }{\partial v} \right\}$이다. $s$의 미분인 $ds$의 함숫값 $ds(\frac{\partial }{\partial u})$를 간단히

$$ \dfrac{\partial s}{\partial u} $$

라고 표기하자. 그러면 $\dfrac{\partial s}{\partial u}$는 곡선 $u \mapsto s(u,v_{0})$를 따르는 벡터필드이다. $\dfrac{\partial s}{\partial v}$도 같은 방식으로 정의되는 $s$를 따르는 벡터필드이다. 미분기하에서 좌표조각사상에 대해서도 이와 비슷한 것을 생각해준다.

$s$를 따르는 벡터필드 $V$를 생각하자. 이제 이 $V$의 공변도함수 $\dfrac{D V}{\partial u}$, $\dfrac{D V}{\partial v}$를 정의할 것이다. 곡선 $u \mapsto s(u, v_{0})$ 위로의 $V$의 축소사상을 생각하자. 그러면 $\dfrac{DV}{du}(u,v_{0})$를 이 축소사상의 공변도함수라고 정의할 수 있다. 이를 모든 $v_{0}$에 대해서 생각할 수 있으므로 $\dfrac{DV}{\partial u}(u, v)$가 모든 $(u,v) \in A$에 대해서 정의된다. $\dfrac{D V}{\partial v}$도 같은 방식으로 정의된다.

대칭성

$M$을 대칭 접속을 가지는 미분다양체, $s : A \to M$을 매개변수화된 곡면이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$ \dfrac{D}{\partial v}\dfrac{\partial s}{\partial u} = \dfrac{D}{\partial u}\dfrac{\partial s}{\partial v} $$

증명

$\mathbf{x} : U \subset \mathbb{R}^{n} \to M$을 $s(A)$의 점 근방을 포함하는 좌표계라고 하자. 다시말해 $s(A) \subset \mathbf{x}(U)$가 되도록 좌표계를 잡아온 것이다. 그러면 $\mathbf{x}^{-1} \circ s(u,v)$는 $\mathbb{R}^{n}$의 점이고, 이를 다음과 같이 표기하자.

$$ \mathbf{x}^{-1} \circ s (u,v) = \left( s^{1}(u,v), \dots, s^{n}(u,v) \right) $$

또한 $s : A \to M$이고 $s$의 미분은 $ds : T_{(u,v)}A \to T_{s(u,v)}M$이다. $A$의 좌표는 $(u, v)$이고, $M$의 좌표는 $\mathbf{x}^{-1} = \left( s^{1}, \dots, s^{n} \right)$이므로,

$$ ds = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial s^{1}}{\partial u} & \dfrac{\partial s^{1}}{\partial v} \\ \vdots \\ \dfrac{\partial s^{n}}{\partial u} & \dfrac{\partial s^{n}}{\partial v} \end{bmatrix} $$

$T_{(u,v)}A$의 기저는 $\left\{ \dfrac{\partial }{\partial u}, \dfrac{\partial }{\partial v} \right\}$의 좌표벡터는 $\begin{bmatrix} 1 \\ 0\end{bmatrix}$이다. 따라서

$$ \dfrac{\partial s}{\partial u} = ds(\dfrac{\partial }{\partial u}) = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial s^{1}}{\partial u} & \dfrac{\partial s^{1}}{\partial v} \\ \vdots & \vdots \\ \dfrac{\partial s^{n}}{\partial u} & \dfrac{\partial s^{n}}{\partial v} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial s^{1}}{\partial u} \\ \vdots \\ \dfrac{\partial s^{n}}{\partial u} \end{bmatrix} = \sum_{i} \dfrac{\partial s^{i}}{\partial u}\dfrac{\partial }{\partial x_{i}} $$

이제 $\dfrac{D }{\partial v}\left( \dfrac{\partial s}{\partial u} \right)$를 계산해보면, 공변도함수의 성질 에 의해,

$$ \begin{align*} \dfrac{D }{\partial v} \left( \dfrac{\partial s}{\partial u} \right) &= \dfrac{D }{\partial v} \left( \sum_{j} \dfrac{\partial s^{j}}{\partial u}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \right) \\ &= \sum_{j} \dfrac{\partial^{2} s^{j}}{\partial v \partial u}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + \sum_{j} \dfrac{\partial s^{j}}{\partial u}\dfrac{D }{\partial v}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \\ &= \sum_{j} \dfrac{\partial^{2} s^{j}}{\partial v \partial u}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + \sum_{i,j} \dfrac{\partial s^{j}}{\partial u} \nabla_{{\partial s}/{\partial u}}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \\ &= \sum_{j} \dfrac{\partial^{2} s^{j}}{\partial v \partial u}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + \sum_{i,j} \dfrac{\partial s^{j}}{\partial u} \nabla_{\frac{\partial s^{i}}{\partial u}\frac{\partial }{\partial x_{i}}}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \\ &= \sum_{j} \dfrac{\partial^{2} s^{j}}{\partial v \partial u}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + \sum_{i,j} \dfrac{\partial s^{j}}{\partial u} \frac{\partial s^{i}}{\partial u}\nabla_{\frac{\partial }{\partial x_{i}}}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \\ &= \sum_{k} \dfrac{\partial^{2} s^{k}}{\partial v \partial u}\dfrac{\partial }{\partial x_{k}} + \sum_{i,j,k} \dfrac{\partial s^{j}}{\partial u} \frac{\partial s^{i}}{\partial u}\Gamma_{ij}^{k} \dfrac{\partial }{\partial x_{k}} \\ \end{align*} $$

그러면 비슷하게 $\dfrac{D }{\partial u}\left( \dfrac{\partial s}{\partial v} \right)$는

$$ \dfrac{D }{\partial v} \left( \dfrac{\partial s}{\partial u} \right) = \sum_{k} \dfrac{\partial^{2} s^{k}}{\partial u \partial v}\dfrac{\partial }{\partial x_{k}} + \sum_{i,j,k} \dfrac{\partial s^{j}}{\partial v} \frac{\partial s^{i}}{\partial v}\Gamma_{ij}^{k} \dfrac{\partial }{\partial x_{k}} $$

이때 $s^{k} : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}$인 미분가능한 함수들이므로 $\dfrac{\partial ^{2}}{\partial u \partial v} = \dfrac{\partial ^{2}}{\partial v \partial u}$이다. 따라서

$$ \dfrac{D }{\partial v} \left( \dfrac{\partial s}{\partial u} \right) = \dfrac{D }{\partial v} \left( \dfrac{\partial s}{\partial u} \right) $$

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